Questão 27. Sejam
e
vetores quaisquer. Usando a famosa Desigualdade de Cauchy-Schwarz
prove a Desigualdade triangular
Passo 1
O enunciado dá claramente o seguinte:
- São dados dois vetores quaisquer
e . - É fornecida a Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
O que o exercício pede:
- Provar a Desigualdade triangular
Passo 2
Primeiro, vamos recordar e explicar o que é o comprimento (norma) de um vetor em termos do produto interno. Para qualquer vetor
definimos a norma por
Isto significa que o quadrado da norma é exatamente o produto interno do vetor por ele mesmo:
Isso é útil porque trabalhar com quadrados de normas evita raízes e torna as contas algébricas mais simples.
Passo 3
Calculemos o quadrado da norma da soma
. Usando a bilinearidade (ou linearidade e conjugação no caso complexo) e a simetria conjugada do produto interno, temos:
Expandindo esse produto interno obtemos
Usando
e
e observando que
, podemos escrever
Passo 4
Agora vamos limitar o termo
. Para qualquer número complexo (ou real)
vale
. Aplicando isso com
obtemos
Pelo enunciado podemos usar Cauchy–Schwarz, que diz
. Juntando as desigualdades:
Passo 5
Substituindo essa cota em
da Passo 3, obtemos
O lado direito é um quadrado perfeito:
Portanto chegamos à desigualdade
Passo 6
Ambos os lados da desigualdade anterior são não negativos (normas ao quadrado). Aplicando a função raiz quadrada, que é crescente em
, preservamos a desigualdade:
Isso é exatamente a Desigualdade triangular que queríamos provar.
Passo 7
Comentário final (útil para prova): a cadeia de ideias principal foi expandir
, controlar o termo misto usando que a parte real é menor ou igual ao módulo e aplicar Cauchy–Schwarz. Uma vez obtida a desigualdade ao quadrado, tirar a raiz conclui o resultado. Um lembrete amigo: sempre que vir um módulo de soma, pensar em quadrados de normas e em controlar o termo misto com Cauchy–Schwarz — é um truque padrão e muito prático na prova.