Questão 27. Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores quaisquer. Usando a famosa Desigualdade de Cauchy-Schwarz
|\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle| \leq|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|
prove a Desigualdade triangular
|\vec{u}+\vec{v}| \leq|\vec{u}|+|\vec{v}|

Passo 1

O enunciado dá claramente o seguinte:
  • São dados dois vetores quaisquer \vec{u} e \vec{v}.
  • É fornecida a Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle| \leq |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|.
O que o exercício pede:
  • Provar a Desigualdade triangular
|\vec{u}+\vec{v}| \leq |\vec{u}|+|\vec{v}|.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar e explicar o que é o comprimento (norma) de um vetor em termos do produto interno. Para qualquer vetor \vec{w} definimos a norma por
|\vec{w}| = \sqrt{\langle\vec{w},\vec{w}\rangle}.
Isto significa que o quadrado da norma é exatamente o produto interno do vetor por ele mesmo:
|\vec{w}|^2 = \langle\vec{w},\vec{w}\rangle.
Isso é útil porque trabalhar com quadrados de normas evita raízes e torna as contas algébricas mais simples.

Passo 3

Calculemos o quadrado da norma da soma \vec{u}+\vec{v}. Usando a bilinearidade (ou linearidade e conjugação no caso complexo) e a simetria conjugada do produto interno, temos:
|\vec{u}+\vec{v}|^2 = \langle \vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}+\vec{v}\rangle.
Expandindo esse produto interno obtemos
|\vec{u}+\vec{v}|^2 = \langle\vec{u},\vec{u}\rangle + \langle\vec{u},\vec{v}\rangle + \langle\vec{v},\vec{u}\rangle + \langle\vec{v},\vec{v}\rangle.
Usando |\vec{u}|^2=\langle\vec{u},\vec{u}\rangle e |\vec{v}|^2=\langle\vec{v},\vec{v}\rangle e observando que \langle\vec{u},\vec{v}\rangle+\langle\vec{v},\vec{u}\rangle = 2\Re\langle\vec{u},\vec{v}\rangle, podemos escrever
|\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\Re\langle\vec{u},\vec{v}\rangle + |\vec{v}|^2.

Passo 4

Agora vamos limitar o termo 2\Re\langle\vec{u},\vec{v}\rangle. Para qualquer número complexo (ou real) z vale \Re z \le |z|. Aplicando isso com z=\langle\vec{u},\vec{v}\rangle obtemos
2\Re\langle\vec{u},\vec{v}\rangle \le 2\,|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle|.
Pelo enunciado podemos usar Cauchy–Schwarz, que diz |\langle\vec{u},\vec{v}\rangle| \leq |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|. Juntando as desigualdades:
2\Re\langle\vec{u},\vec{v}\rangle \le 2\,|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle| \le 2\,|\vec{u}|\;|\vec{v}|.

Passo 5

Substituindo essa cota em |\vec{u}+\vec{v}|^2 da Passo 3, obtemos
|\vec{u}+\vec{v}|^2 \le |\vec{u}|^2 + 2\,|\vec{u}|\;|\vec{v}| + |\vec{v}|^2.
O lado direito é um quadrado perfeito:
|\vec{u}|^2 + 2\,|\vec{u}|\;|\vec{v}| + |\vec{v}|^2 = \big(|\vec{u}|+|\vec{v}|\big)^2.
Portanto chegamos à desigualdade
|\vec{u}+\vec{v}|^2 \le \big(|\vec{u}|+|\vec{v}|\big)^2.

Passo 6

Ambos os lados da desigualdade anterior são não negativos (normas ao quadrado). Aplicando a função raiz quadrada, que é crescente em [0,\infty), preservamos a desigualdade:
|\vec{u}+\vec{v}| \le |\vec{u}|+|\vec{v}|.
Isso é exatamente a Desigualdade triangular que queríamos provar.

Passo 7

Comentário final (útil para prova): a cadeia de ideias principal foi expandir |\vec{u}+\vec{v}|^2, controlar o termo misto usando que a parte real é menor ou igual ao módulo e aplicar Cauchy–Schwarz. Uma vez obtida a desigualdade ao quadrado, tirar a raiz conclui o resultado. Um lembrete amigo: sempre que vir um módulo de soma, pensar em quadrados de normas e em controlar o termo misto com Cauchy–Schwarz — é um truque padrão e muito prático na prova.

Resposta

|\vec{u}+\vec{v}| \leq |\vec{u}|+|\vec{v}|

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