Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para dizer se
é injetiva e se é sobrejetiva, justificando por cálculos e/ou argumentos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Domínio:
. Aqui vou interpretar (números reais estritamente positivos). - Contradomínio (codomain):
(todos os números reais). - Regra: a cada
associa-se .
As perguntas são, portanto:
- A função
é injetiva? Justifique. - A função
é sobrejetiva (isto é, atinge todos os reais)? Justifique.
Passo 2
Definição de injetividade (explicada devagar e com exemplo):
Uma função é injetiva se valores diferentes do domínio dão sempre imagens diferentes. Formalmente,
é injetiva quando vale:
Uma função
para todo
. Em palavras: não existem dois pontos distintos do domínio que tenham a mesma imagem. Exemplo simples:
em
é injetiva porque
implica
.
Passo 3
Prova algébrica de injetividade para
em
.
Tomemos e suponha que
Tomemos
Isto é
Subtraindo os dois lados,
Factorizando a diferença de quartas potências (identidade algébrica),
Agora observe que, como
e
, todos os termos
são positivos; portanto a soma
é um número estritamente positivo. Assim o produto acima só pode ser zero se e somente se
. Logo
. Isso mostra, pela definição, que
é injetiva em
.
Passo 4
Intuição alternativa (monotonicidade sem cálculo):
Se , então todos os fatores em
Se
são positivos, logo
, isto é
. Assim a função cresce quando
cresce em
; uma função estritamente crescente é sempre injetiva. Este passo é só para reforçar a intuição do passo algébrico.
Passo 5
Definição de sobrejetividade (explicada devagar e com exemplo):
Uma função é sobrejetiva (ou onto) se todo elemento do contradomínio
é imagem de pelo menos um elemento de
. Formalmente:
Uma função
Exemplo:
como função
é sobrejetiva porque para qualquer
existe
com
.
Passo 6
Mostrando que
não é sobrejetiva para o contradomínio
.
Para qualquer tem-se
. Portanto todas as imagens por
são números positivos; isto é,
Para qualquer
Como o contradomínio dado é
, existem muitos elementos de
que não são alcançados por
: por exemplo qualquer número negativo, digamos
, não está na imagem porque a equação
não tem solução real (potências de expoente par de números reais são não negativas). Além disso,
também não é imagem de nenhum
(pois
para todo
). Assim há elementos do contradomínio
que não são imagens, logo
NÃO é sobrejetiva como função
.
Passo 7
Observação útil sobre a imagem real da função (completa o entendimento):
O conjunto imagem exato é
O conjunto imagem exato é
Justificação curta: para qualquer
pode-se tomar
e então
; assim todo
é atingido. A unicidade dessa raiz positiva já vinha do passo de injetividade. Isso confirma que a imagem é
, não todo
.
Resposta
Injetiva: sim.
Sobrejetiva: não.
Sobrejetiva: não.