Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^{4},
e pede para dizer se f é injetiva e se é sobrejetiva, justificando por cálculos e/ou argumentos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Domínio: \mathbb{R}^{+}. Aqui vou interpretar \mathbb{R}^{+}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\} (números reais estritamente positivos).
  • Contradomínio (codomain): \mathbb{R} (todos os números reais).
  • Regra: a cada x>0 associa-se f(x)=x^{4}.
    As perguntas são, portanto:
  1. A função f é injetiva? Justifique.
  2. A função f é sobrejetiva (isto é, atinge todos os reais)? Justifique.

Passo 2

Definição de injetividade (explicada devagar e com exemplo):
Uma função g:A\to B é injetiva se valores diferentes do domínio dão sempre imagens diferentes. Formalmente, g é injetiva quando vale:
\text{se } g(a)=g(b)\text{ então }a=b,ã
para todo a,b\in A. Em palavras: não existem dois pontos distintos do domínio que tenham a mesma imagem. Exemplo simples: h(x)=2x em \mathbb{R} é injetiva porque 2a=2b implica a=b.

Passo 3

Prova algébrica de injetividade para f(x)=x^{4} em \mathbb{R}^{+}.
Tomemos a,b\in\mathbb{R}^{+} e suponha que
f(a)=f(b).
Isto é
a^{4}=b^{4}.
Subtraindo os dois lados,
a^{4}-b^{4}=0.
Factorizando a diferença de quartas potências (identidade algébrica),
a^{4}-b^{4}=(a-b)\bigl(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}\bigr)=0.
Agora observe que, como a>0 e b>0, todos os termos a^{3},a^{2}b,ab^{2},b^{3} são positivos; portanto a soma
a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}
é um número estritamente positivo. Assim o produto acima só pode ser zero se e somente se a-b=0. Logo a=b. Isso mostra, pela definição, que f é injetiva em \mathbb{R}^{+}.

Passo 4

Intuição alternativa (monotonicidade sem cálculo):
Se a>b>0, então todos os fatores em
a^{4}-b^{4}=(a-b)\bigl(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}\bigr)
são positivos, logo a^{4}-b^{4}>0, isto é a^{4}>b^{4}. Assim a função cresce quando x cresce em \mathbb{R}^{+}; uma função estritamente crescente é sempre injetiva. Este passo é só para reforçar a intuição do passo algébrico.

Passo 5

Definição de sobrejetividade (explicada devagar e com exemplo):
Uma função g:A\to B é sobrejetiva (ou onto) se todo elemento do contradomínio B é imagem de pelo menos um elemento de A. Formalmente:
\text{para todo }y\in B\\ \exists x\in A\text{ tal que }g(x)=y.
Exemplo: h(x)=x^{3} como função \mathbb{R}\to\mathbb{R} é sobrejetiva porque para qualquer y\in\mathbb{R} existe x=\sqrt[3]{y} com x^{3}=y.

Passo 6

Mostrando que f não é sobrejetiva para o contradomínio \mathbb{R}.
Para qualquer x\in\mathbb{R}^{+} tem-se x^{4}>0. Portanto todas as imagens por f são números positivos; isto é,
f(\mathbb{R}^{+})\subseteq(0,\infty).
Como o contradomínio dado é \mathbb{R}, existem muitos elementos de \mathbb{R} que não são alcançados por f: por exemplo qualquer número negativo, digamos -1, não está na imagem porque a equação
x^{4}=-1
não tem solução real (potências de expoente par de números reais são não negativas). Além disso, 0 também não é imagem de nenhum x>0 (pois x^{4}>0 para todo x>0). Assim há elementos do contradomínio \mathbb{R} que não são imagens, logo f NÃO é sobrejetiva como função \mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}.

Passo 7

Observação útil sobre a imagem real da função (completa o entendimento):
O conjunto imagem exato é
f(\mathbb{R}^{+})=(0,\infty).
Justificação curta: para qualquer y>0 pode-se tomar x=\sqrt{\sqrt{y}}=y^{1/4}>0 e então x^{4}=y; assim todo y>0 é atingido. A unicidade dessa raiz positiva já vinha do passo de injetividade. Isso confirma que a imagem é (0,\infty), não todo \mathbb{R}.

Resposta

Injetiva: sim.
Sobrejetiva: não.

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