Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, \quad f(x)=x^{2} \quad

Passo 1

O enunciado dá a função
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+},\qquad f(x)=x^{2}.
O que a questão pede:
  • Dizer se f é injetiva (uma-para-uma).
  • Dizer se f é sobrejetiva (atinge todo o contradomínio \mathbb{R}^{+}).
    Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Regra da função: f(x)=x^{2}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{+}.
Nota importante sobre notação: a escrita \mathbb{R}^{+} pode significar duas coisas dependendo da convenção: ou [0,\infty) (reais não-negativos) ou (0,\infty) (reais estritamente positivos). Aqui há uma ambiguidade. Vou primeiro observar a implicação dessa ambiguidade:
  • Se \mathbb{R}^{+}=(0,\infty), então a imagem de 0 pelo mapa é f(0)=0\notin(0,\infty), portanto a declaração da função seria inconsistente (não estaria bem definida). Por isso, a hipótese mais natural e coerente é assumir que \mathbb{R}^{+}=[0,\infty).
    Vou adotar a convenção \mathbb{R}^{+}=[0,\infty) para prosseguir (se o seu professor usa outra convenção, diga-me depois; aí eu ajusto).

Passo 2

Definições (breve e prática):
  • f é injetiva se, sempre que f(x_1)=f(x_2), então obrigatoriamente x_1=x_2. Em outras palavras, não existem dois pontos distintos do domínio que tenham a mesma imagem.
  • f é sobrejetiva se, para todo y no contradomínio, existe x no domínio tal que f(x)=y. Ou seja, a imagem de f é todo o contradomínio.
Vou testar cada propriedade com cálculos/algebra simples.

Passo 3

Testando injetividade. Começo com a equação f(x_1)=f(x_2):
x_1^{2}=x_2^{2}.
Reescrevo como produto:
x_1^{2}-x_2^{2}=(x_1-x_2)(x_1+x_2)=0.
Logo, ou x_1-x_2=0 (isto é, x_1=x_2) ou x_1+x_2=0 (isto é, x_1=-x_2). Isso mostra que sempre que duas entradas têm mesma imagem, ou são iguais ou são opostas. Em particular, existem exemplos concretos com entradas diferentes que dão a mesma imagem: por exemplo
f(1)=1^{2}=1\quad\text{e}\quad f(-1)=(-1)^{2}=1,
mas 1\ne-1. Isso é uma contraexemplo direto à injetividade: dois x distintos com mesma imagem. Conclusão: a função f:\mathbb{R}\to[0,\infty) dada por f(x)=x^{2} NÃO é injetiva.
Observação pedagógica: se restringirmos o domínio a [0,\infty), isto é, considerarmos f:[0,\infty)\to[0,\infty) com f(x)=x^{2}, então a propriedade x_1^{2}=x_2^{2} junto com x_1,x_2\ge0 implica necessariamente x_1=x_2. Assim, a mesma fórmula se torna injetiva ao restringir o domínio aos não-negativos. Outra maneira de ver isso é notar que na metade não-negativa a função é estritamente crescente (derivada f'(x)=2x\ge0, estritamente >0 para x>0).

Passo 4

Testando sobrejetividade (assumindo \mathbb{R}^{+}=[0,\infty)). Tome um y\in[0,\infty) arbitrário. Quero mostrar que existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y, isto é, x^{2}=y.
  • Se y=0, basta escolher x=0 e então f(0)=0.
  • Se y>0, escolha x=\sqrt{y} (a raiz quadrada não-negativa). Então
f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^{2}=y.
Também, note que x=-\sqrt{y} é outra preimagem quando y>0.
Como para todo y\ge0 encontramos um x\in\mathbb{R} com x^{2}=y, segue que a imagem de f é exatamente [0,\infty). Portanto f é sobrejetiva (onto) quando o contradomínio é [0,\infty).
Comentário sobre a ambiguidade anterior: se por acaso o professor usar \mathbb{R}^{+}=(0,\infty), então 0 não pertence ao contradomínio e o valor f(0)=0 não teria lugar no contradomínio — isso faria a declaração da função inconsistente; portanto a única interpretação razoável para que a função seja bem definida é \mathbb{R}^{+}=[0,\infty).

Passo 5

Resumo didático — como identificar rápido numa prova:
  • Para verificar injetividade, tente achar x_1\ne x_2 com f(x_1)=f(x_2). Para polinômios pares como x^{2} é típico encontrar x e -x com a mesma imagem. Alternativa: resolver f(x_1)=f(x_2) e ver se a igualdade força x_1=x_2.
  • Para verificar sobrejetividade, pegue um y genérico no contradomínio e tente resolver a equação f(x)=y. Se sempre existir solução x no domínio, é sobrejetiva. Aqui resolver x^{2}=y x=\pm\sqrt{y} (ou x=0 se y=0), então sempre há solução para y\ge0.
Força aí — essa questão é clássica e cai muito em prova. O truque é lembrar que quadrado não distingue sinal, por isso não é injetiva, mas atinge todos os números não-negativos, por isso é sobrejetiva para [0,\infty).

Resposta

Injetiva: Não.
Sobrejetiva: Sim (assumindo \mathbb{R}^{+}=[0,\infty)).

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