Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
Passo 1
O enunciado dá a função
O que a questão pede:
- Dizer se
é injetiva (uma-para-uma). - Dizer se
é sobrejetiva (atinge todo o contradomínio ).
Informações relevantes fornecidas: - Domínio:
. - Regra da função:
. - Contradomínio:
.
Nota importante sobre notação: a escrita
pode significar duas coisas dependendo da convenção: ou
(reais não-negativos) ou
(reais estritamente positivos). Aqui há uma ambiguidade. Vou primeiro observar a implicação dessa ambiguidade:
- Se
, então a imagem de pelo mapa é , portanto a declaração da função seria inconsistente (não estaria bem definida). Por isso, a hipótese mais natural e coerente é assumir que .
Vou adotar a convençãopara prosseguir (se o seu professor usa outra convenção, diga-me depois; aí eu ajusto).
Passo 2
Definições (breve e prática):
-
é injetiva se, sempre que , então obrigatoriamente . Em outras palavras, não existem dois pontos distintos do domínio que tenham a mesma imagem. -
é sobrejetiva se, para todo no contradomínio, existe no domínio tal que . Ou seja, a imagem de é todo o contradomínio.
Vou testar cada propriedade com cálculos/algebra simples.
Passo 3
Testando injetividade. Começo com a equação
:
Reescrevo como produto:
Logo, ou
(isto é,
) ou
(isto é,
). Isso mostra que sempre que duas entradas têm mesma imagem, ou são iguais ou são opostas. Em particular, existem exemplos concretos com entradas diferentes que dão a mesma imagem: por exemplo
mas
. Isso é uma contraexemplo direto à injetividade: dois
distintos com mesma imagem. Conclusão: a função
dada por
NÃO é injetiva.
Observação pedagógica: se restringirmos o domínio a
, isto é, considerarmos
com
, então a propriedade
junto com
implica necessariamente
. Assim, a mesma fórmula se torna injetiva ao restringir o domínio aos não-negativos. Outra maneira de ver isso é notar que na metade não-negativa a função é estritamente crescente (derivada
, estritamente
para
).
Passo 4
Testando sobrejetividade (assumindo
). Tome um
arbitrário. Quero mostrar que existe
tal que
, isto é,
.
- Se
, basta escolher e então . - Se
, escolha (a raiz quadrada não-negativa). Então
Também, note que
é outra preimagem quando
.
Como para todo
encontramos um
com
, segue que a imagem de
é exatamente
. Portanto
é sobrejetiva (onto) quando o contradomínio é
.
Comentário sobre a ambiguidade anterior: se por acaso o professor usar
, então
não pertence ao contradomínio e o valor
não teria lugar no contradomínio — isso faria a declaração da função inconsistente; portanto a única interpretação razoável para que a função seja bem definida é
.
Passo 5
Resumo didático — como identificar rápido numa prova:
- Para verificar injetividade, tente achar
com . Para polinômios pares como é típico encontrar e com a mesma imagem. Alternativa: resolver e ver se a igualdade força . - Para verificar sobrejetividade, pegue um
genérico no contradomínio e tente resolver a equação . Se sempre existir solução no domínio, é sobrejetiva. Aqui resolver dá (ou se ), então sempre há solução para .
Força aí — essa questão é clássica e cai muito em prova. O truque é lembrar que quadrado não distingue sinal, por isso não é injetiva, mas atinge todos os números não-negativos, por isso é sobrejetiva para
.
Resposta
Injetiva: Não.
Sobrejetiva: Sim (assumindo ).
Sobrejetiva: Sim (assumindo