Questão 25. (a) Encontre a solução u(r, \theta) da equação de Laplace na região semicircular r<a, 0<\theta<\pi, que também satisfaz as condições de contorno
\begin{gathered} u(r, 0)=0, \quad u(r, \pi)=0, \quad 0 \leq r<a, \\\ u(a, \theta)=f(\theta), \quad 0 \leq \theta \leq \pi . \end{gathered}
Suponha que u é contínua e limitada na região dada.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • Região: semicirculo em coordenadas polares, isto é \{(r,\theta)\mid 0\le r<a,\\\ 0<\theta<\pi\}.
  • Equação a satisfazer: \displaystyle \Delta u=0 na região dada (equação de Laplace).
  • Condições de contorno:
    • \displaystyle u(r,0)=0 para 0\le r<a.
    • \displaystyle u(r,\pi)=0 para 0\le r<a.
    • \displaystyle u(a,\theta)=f(\theta) para 0\le \theta\le\pi.
  • Hipótese adicional: u é contínua e limitada na região dada.
O que o enunciado pede: encontrar explicitamente a solução u(r,\theta) que satisfaz a equação e essas condições.

Passo 2

Vamos buscar soluções por separação de variáveis. A ideia é assumir uma forma produto para u:
u(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta),
onde R depende só de r e \Theta só de \theta. Vou explicar por que essa suposição é natural: a equação de Laplace em coordenadas polares é
\Delta u = u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0.
Substituindo u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta) e dividindo por R\Theta obtemos
\frac{r^2R''(r)+rR'(r)}{R(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = 0.
Cada parcela depende de variáveis diferentes, logo ambas devem ser constantes (uma é função só de r, outra só de \theta). Coloco essa constante como -\lambda, obtendo os dois ODEs acoplados:
\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = -\lambda, \qquad \frac{r^2R''(r)+rR'(r)}{R(r)} = \lambda.

Passo 3

Resolvo primeiro a equação angular para \Theta:
\Theta''(\theta) + \lambda \Theta(\theta)=0,
com as condições de contorno em \theta: \Theta(0)=0 e \Theta(\pi)=0 (essas vêm de u(r,0)=0 e u(r,\pi)=0 e do fato de R(r) não ser identicamente zero).
Essa é uma equação harmónica com condições de Dirichlet em [0,\pi]. Os valores próprios e autovetores são bem conhecidos:
  • Se \lambda=0 então \Theta é afim e as condições \Theta(0)=\Theta(\pi)=0 forçam \Theta\equiv0 (modo trivial que não nos interessa).
  • Se \lambda>0, escrevendo \lambda=n^2 (com n>0), as soluções não-triviais são
\Theta(\theta)=\sin(n\theta)
quando n é inteiro positivo e se exige \sin(n\pi)=0, o que leva a n\in\mathbb{N}. Para inteiros n temos \Theta(0)=0 e \Theta(\pi)=0.
  • Se \lambda<0 não há solução que satisfaça ambas as condições sem ser trivial.
Logo os autovalores relevantes são \lambda=n^2 com n=1,2,3,\dots, e os autovetores angulares correspondentes são \sin(n\theta).
Observação sobre ortogonalidade (útil depois): as funções \{\sin(n\theta)\}_{n\ge1} são ortogonais no intervalo [0,\pi] com produto interno \int_0^\pi \sin(n\theta)\sin(m\theta)\,d\theta = \frac{\pi}{2}\delta_{nm}. Isso permite expandir f(\theta) em série de senos.

Passo 4

Agora resolvo a equação radial associada a \lambda=n^2:
r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r)=0.
Essa é uma equação de Euler (equação de Cauchy–Euler) clássica; a solução geral é conhecida e pode ser verificada substituindo R(r)=r^s. Ao fazer isso obtém-se a equação característica s^2-n^2=0, com raízes s=\pm n. Assim a solução geral radial é
R(r)=C_1 r^{n} + C_2 r^{-n}.

Passo 5

Aplicamos agora a condição de regularidade no centro r=0: o enunciado exige que u seja contínuo e limitada na região incluindo r=0. O termo r^{-n} diverge quando r\to0 para n\ge1, então devemos escolher C_2=0 para manter u limitada no centro. Portanto, para cada modo n\ge1 a parte radial aceita é proporcional a r^{n}.
Assim, para cada n\ge1 temos um modo separável não trivial
u_n(r,\theta) = A_n r^{n} \sin(n\theta),
onde A_n é uma constante (coeficiente do modo).

Passo 6

A solução geral (soma de todos os modos) é a série
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n r^{n}\sin(n\theta).
Explico por que somamos modos: Laplace é linear, então combinações lineares de soluções são soluções; com as condições angulares homogêneas usamos a base \{\sin(n\theta)\}.
Agora impomos a condição de contorno na borda \,r=a: para 0\le\theta\le\pi
u(a,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n a^{n}\sin(n\theta) = f(\theta).
Isso diz que f(\theta) deve ser expressável como série de senos no intervalo [0,\pi]. Sob hipóteses razoáveis (por exemplo f integrável), isso é possível: f tem expansão em série de senos.

Passo 7

Determino os coeficientes A_n usando ortogonalidade das funções \sin(n\theta). Multiplico a igualdade
f(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n a^{n}\sin(n\theta)
por \sin(m\theta) e integro de 0 a \pi. Pela ortogonalidade obtemos para cada m\ge1:
\int_0^\pi f(\theta)\sin(m\theta)\,d\theta = \sum_{n=1}^{\infty} A_n a^{n} \int_0^\pi \sin(n\theta)\sin(m\theta)\,d\theta = A_m a^{m} \cdot \frac{\pi}{2}.
Logo
A_m a^{m} = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(\theta)\sin(m\theta)\,d\theta.
Defino os coeficientes de Fourier-seno de f como
b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(\theta)\sin(n\theta)\,d\theta.
Então A_n a^{n}=b_n, isto é A_n = b_n a^{-n}.

Passo 8

Substituindo de volta na série para u obtenho a solução final:
u(r,\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \left(\frac{r}{a}\right)^{n} \sin(n\theta),
onde
b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(\theta)\sin(n\theta)\,d\theta.
Explicação prática: cada termo corresponde a um modo angular \sin(n\theta) e decai radialmente como (r/a)^n; na fronteira r=a recupera-se exatamente f(\theta)=\sum b_n\sin(n\theta).

Passo 9

Verificações e comentários úteis para a prova (curta e prática):
  • Se f for contínua em [0,\pi] então a série acima converge (normalmente ponto a ponto e uniformemente em compactos interiores) e a função u definida por ela é harmônica em 0\le r<a.
  • Unicidade: a solução com essas condições de contorno é única (princípio do máximo para a equação de Laplace). Portanto a série encontrada é a única possível solução contínua e limitada.
  • Exemplinho rápido: se f(\theta)=\sin(k\theta) para algum inteiro k\ge1, então apenas b_k=1 e os outros b_n=0, e a solução é u(r,\theta)=\left(\dfrac{r}{a}\right)^k\sin(k\theta). Isso é útil para checar se entendeu a decomposição em modos.

Resposta

u(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(\varphi)\sin(n\varphi)\,d\varphi\right)\left(\frac{r}{a}\right)^{n}\sin(n\theta).

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