Questão 25. (a) Encontre a solução
da equação de Laplace na região semicircular
, que também satisfaz as condições de contorno
Suponha que u é contínua e limitada na região dada.
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
- Região: semicirculo em coordenadas polares, isto é
. - Equação a satisfazer:
na região dada (equação de Laplace). - Condições de contorno:
-
para . -
para . -
para .
-
- Hipótese adicional:
é contínua e limitada na região dada.
O que o enunciado pede: encontrar explicitamente a solução
que satisfaz a equação e essas condições.
Passo 2
Vamos buscar soluções por separação de variáveis. A ideia é assumir uma forma produto para
:
onde
depende só de
e
só de
. Vou explicar por que essa suposição é natural: a equação de Laplace em coordenadas polares é
Substituindo
e dividindo por
obtemos
Cada parcela depende de variáveis diferentes, logo ambas devem ser constantes (uma é função só de
, outra só de
). Coloco essa constante como
, obtendo os dois ODEs acoplados:
Passo 3
Resolvo primeiro a equação angular para
:
com as condições de contorno em
:
e
(essas vêm de
e
e do fato de
não ser identicamente zero).
Essa é uma equação harmónica com condições de Dirichlet em
. Os valores próprios e autovetores são bem conhecidos:
- Se
então é afim e as condições forçam (modo trivial que não nos interessa). - Se
, escrevendo (com ), as soluções não-triviais são
quando
é inteiro positivo e se exige
, o que leva a
. Para inteiros
temos
e
.
- Se
não há solução que satisfaça ambas as condições sem ser trivial.
Logo os autovalores relevantes são
com
, e os autovetores angulares correspondentes são
.
Observação sobre ortogonalidade (útil depois): as funções
são ortogonais no intervalo
com produto interno
. Isso permite expandir
em série de senos.
Passo 4
Agora resolvo a equação radial associada a
:
Essa é uma equação de Euler (equação de Cauchy–Euler) clássica; a solução geral é conhecida e pode ser verificada substituindo
. Ao fazer isso obtém-se a equação característica
, com raízes
. Assim a solução geral radial é
Passo 5
Aplicamos agora a condição de regularidade no centro
: o enunciado exige que
seja contínuo e limitada na região incluindo
. O termo
diverge quando
para
, então devemos escolher
para manter
limitada no centro. Portanto, para cada modo
a parte radial aceita é proporcional a
.
Assim, para cada
temos um modo separável não trivial
onde
é uma constante (coeficiente do modo).
Passo 6
A solução geral (soma de todos os modos) é a série
Explico por que somamos modos: Laplace é linear, então combinações lineares de soluções são soluções; com as condições angulares homogêneas usamos a base
.
Agora impomos a condição de contorno na borda
: para
Isso diz que
deve ser expressável como série de senos no intervalo
. Sob hipóteses razoáveis (por exemplo
integrável), isso é possível:
tem expansão em série de senos.
Passo 7
Determino os coeficientes
usando ortogonalidade das funções
. Multiplico a igualdade
por
e integro de
a
. Pela ortogonalidade obtemos para cada
:
Logo
Defino os coeficientes de Fourier-seno de
como
Então
, isto é
.
Passo 8
Substituindo de volta na série para
obtenho a solução final:
onde
Explicação prática: cada termo corresponde a um modo angular
e decai radialmente como
; na fronteira
recupera-se exatamente
.
Passo 9
Verificações e comentários úteis para a prova (curta e prática):
- Se
for contínua em então a série acima converge (normalmente ponto a ponto e uniformemente em compactos interiores) e a função definida por ela é harmônica em . - Unicidade: a solução com essas condições de contorno é única (princípio do máximo para a equação de Laplace). Portanto a série encontrada é a única possível solução contínua e limitada.
- Exemplinho rápido: se
para algum inteiro , então apenas e os outros , e a solução é . Isso é útil para checar se entendeu a decomposição em modos.