• Questão 25. Mostre que
\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\left(1+a^{2} x^{2}\right)\left(1+b^{2} x^{2}\right)}=\frac{\pi}{2} \frac{1}{a+b}, a>0, b>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\bigl(1+a^{2}x^{2}\bigr)\bigl(1+b^{2}x^{2}\bigr)},
onde a>0 e b>0. O conteúdo principal é integrais impróprias de funções racionais. Vamos usar decomposição em frações parciais e o resultado conhecido
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+c^{2}x^{2}}=\frac{\pi}{2c},\quad c>0.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{1}{(1+a^{2}x^{2})(1+b^{2}x^{2})} =\frac{A}{1+a^{2}x^{2}}+\frac{B}{1+b^{2}x^{2}}.
Multiplicando em comum denominador obtém-se
A\bigl(1+b^{2}x^{2}\bigr)+B\bigl(1+a^{2}x^{2}\bigr)=1.
Igualando termos constantes e de x^{2}:
\begin{cases} A+B=1,\\\ A\,b^{2}+B\,a^{2}=0. \end{cases}
Dessa forma
A=\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}},\quad B=\frac{b^{2}}{b^{2}-a^{2}}.

Passo 3

Substituindo na integral e separando termos:
I =\int_{0}^{\infty}\Bigl(\frac{A}{1+a^{2}x^{2}}+\frac{B}{1+b^{2}x^{2}}\Bigr)\,dx =A\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+a^{2}x^{2}} + B\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+b^{2}x^{2}}.
Usando
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+c^{2}x^{2}}=\frac{\pi}{2c},
obtemos
I =A\cdot\frac{\pi}{2a}+B\cdot\frac{\pi}{2b} =\frac{\pi}{2}\Bigl(\frac{A}{a}+\frac{B}{b}\Bigr).

Passo 4

Substituindo A e B:
\frac{A}{a}+\frac{B}{b} =\frac{1}{a}\cdot\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}} +\frac{1}{b}\cdot\frac{b^{2}}{b^{2}-a^{2}} =\frac{a}{a^{2}-b^{2}}-\frac{b}{a^{2}-b^{2}} =\frac{a-b}{(a-b)(a+b)} =\frac{1}{a+b}.
Logo
I=\frac{\pi}{2}\,\frac{1}{a+b}.

Resposta

\frac{\pi}{2}\,\frac{1}{a+b}.

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