- Questão 27. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais impróprias do tipo gaussiano:
e
O conteúdo principal é a técnica de avaliar a integral de Gauss, usando o quadrado da integral e coordenadas polares, e depois aplicar fatoração para o caso com o termo
.
Passo 2
Vamos chamar
Para encontrar
, consideramos seu quadrado:
Em coordenadas polares,
,
, o elemento de área é
, e a região de integração no primeiro quadrante é
,
. Assim,
Calculamos
e fazendo a substituição
em
vem
Logo,
Passo 3
Agora analisamos
Como
é constante em relação a
, podemos fatorar
para fora da integral: