• Questão 27. Mostre que
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}-a^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-a^{2}}, \quad \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais impróprias do tipo gaussiano:
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x
e
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}-a^{2}} d x.
O conteúdo principal é a técnica de avaliar a integral de Gauss, usando o quadrado da integral e coordenadas polares, e depois aplicar fatoração para o caso com o termo a^{2}.

Passo 2

Vamos chamar
I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x.
Para encontrar I, consideramos seu quadrado:
I^{2} = \left(\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right) \left(\int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}} d y\right) =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d x\,d y.
Em coordenadas polares, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, o elemento de área é r\,d r\,d\theta, e a região de integração no primeiro quadrante é \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], r\in[0,\infty). Assim,
I^{2} =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\,r\,d r\,d\theta =\left(\int_{0}^{\pi/2}d\theta\right) \left(\int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}} d r\right).
Calculamos
\int_{0}^{\pi/2}d\theta = \frac{\pi}{2},
e fazendo a substituição u=r^{2} em
\int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}} d r
vem
u=r^{2},\quad du=2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}} d r =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u} du =\frac{1}{2}.
Logo,
I^{2}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.

Passo 3

Agora analisamos
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}-a^{2}} d x.
Como a é constante em relação a x, podemos fatorar e^{-a^{2}} para fora da integral:
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}-a^{2}} d x = e^{-a^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x = e^{-a^{2}}\;I = e^{-a^{2}}\;\frac{\sqrt{\pi}}{2}.

Resposta

\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, \quad \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}-a^{2}} d x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,e^{-a^{2}}.

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