• Questão 29. Considere a série dupla \sum_{m} \sum_{n} a_{m n} tendo na primeira linha a série
1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots
e na primeira coluna a série
1-t-t^{2}-t^{3}-t^{4}-\cdots
No restante da tabela coloque 0 na posição a_{m n} e suponha |t|<1. Calcule as somas em linhas e em colunas. A série dupla converge? Justifique.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz (a_{mn})\) tal que — na primeira linha (\(m=1\)) \[a_{1n}=t^{\,n-1},\quad n\ge1,
de modo que a soma em linha m=1 é
\sum_{n=1}^\infty a_{1n}=1+t+t^2+\cdots.
— na primeira coluna ( n=1)
a_{m1}=\begin{cases} 1,&m=1,\\\\ -\,t^{\,m-1},&m\ge2, \end{cases}
de modo que a soma em coluna n=1\] é \[\sum_{m=1}^\infty a_{m1}=1 -t -t^2-\cdots.\] — para \(m\ge2 e n\ge2, a_{mn}=0.
Queremos calcular a soma de cada linha ( \sum_n a_{mn}), de cada coluna ( \sum_m a_{mn}) e decidir se a série dupla \sum_m\sum_n a_{mn} converge quando \lvert t\rvert<1.

Passo 2

Calcular a soma em cada linha m.
Para m=1,
\sum_{n=1}^\infty a_{1n} =\sum_{n=1}^\infty t^{\,n-1} =\frac1{1-t}.
Para m\ge2, só há a_{m1}=-t^{\,m-1} e o resto zero, logo
\sum_{n=1}^\infty a_{mn} =-\,t^{\,m-1}.

Passo 3

Agora somamos sobre m as somas de linha:
\sum_{m=1}^\infty\Bigl(\sum_{n=1}^\infty a_{mn}\Bigr) =\frac1{1-t}+\sum_{m=2}^\infty\bigl(-t^{\,m-1}\bigr) =\frac1{1-t}-\frac{t}{1-t} =1.

Passo 4

Calcular a soma em cada coluna n.
Para n=1,
\sum_{m=1}^\infty a_{m1} =1-\sum_{m=2}^\infty t^{\,m-1} =1-\frac{t}{1-t} =\frac{1-2t}{1-t}.
Para n\ge2, só há a_{1n}=t^{\,n-1}, logo
\sum_{m=1}^\infty a_{mn} =t^{\,n-1}.

Passo 5

Somamos sobre n as somas de coluna:
\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\sum_{m=1}^\infty a_{mn}\Bigr) =\frac{1-2t}{1-t}+\sum_{n=2}^\infty t^{\,n-1} =\frac{1-2t}{1-t}+\frac{t}{1-t} =1.

Passo 6

Verificamos a convergência absoluta da série dupla.
\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\lvert a_{mn}\rvert =\sum_{n=1}^\infty t^{\,n-1}+\sum_{m=2}^\infty t^{\,m-1} =\frac1{1-\lvert t\rvert}+\frac{\lvert t\rvert}{1-\lvert t\rvert} =\frac{1+\lvert t\rvert}{1-\lvert t\rvert}<\infty.
Como converge absolutamente quando \lvert t\rvert<1, a série dupla converge sem ambiguidade.

Resposta

A soma iterada pelas linhas é 1, a soma iterada pelas colunas é 1, e a série dupla converge absolutamente (portanto converge) para
\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty a_{mn}=1.

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