Questão 1 (25% da nota)

Dado o vetor velocidade:
\vec{V}=\left(-y^{3}-4 z t^{3}\right) \hat{j}+\left[3 y^{2} z \ln \left(t^{2}\right)\right] \hat{k}
a) Verifique se o escoamento é uni, bi ou tridimensional.
b) Verifique se o escoamento é em regime permanente ou transiente.
c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e convectiva.
d) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
\vec V = V_x\,\hat \imath + V_y\,\hat \jmath + V_z\,\hat k
com
V_x = 0,\quad V_y = -y^3 - 4\,z\,t^3,\quad V_z = 3\,y^2\,z\,\ln\bigl(t^2\bigr).
Pede-se:
a) dimensão do escoamento;
b) regime (estacionário ou transiente);
c) aceleração total (local + convectiva);
d) se o escoamento é rotacional ou irrotacional.

Passo 2

Para saber se é uni, bi ou tridimensional, observamos em quantas direções não nulas e quantas variáveis espaciais aparecem. Aqui só há componentes em \hat\jmath e \hat k (duas direções) e a dependência espacial é em y e z. Logo é um escoamento bidimensional.

Passo 3

Verificamos se há dependência explícita em t. Como V_y tem termo -4zt^3 e V_z tem \ln(t^2), o campo varia com o tempo. Portanto é transiente (não estacionário).

Passo 4

A aceleração total é
\vec a = \frac{\partial \vec V}{\partial t} + (\vec V\cdot\nabla)\vec V.
1. Aceleração local:
\frac{\partial V_y}{\partial t} = -12\,z\,t^2, \qquad \frac{\partial V_z}{\partial t} = 3\,y^2\,z\;\frac{2}{t} = \frac{6\,y^2\,z}{t}, \qquad \frac{\partial V_x}{\partial t}=0.
2. Aceleração convectiva: use (\vec V\cdot\nabla)V_i = V_y\,\partial_y V_i + V_z\,\partial_z V_i.
  • Para i=y:
    \partial_y V_y=-3y^2,\;\partial_z V_y=-4t^3, (\vec V\cdot\nabla)V_y =(-y^3-4zt^3)(-3y^2) +\bigl(3y^2z\ln(t^2)\bigr)(-4t^3) =3y^5+12y^2z\,t^3-12y^2z\,t^3\ln(t^2).
  • Para i=z:
    \partial_y V_z=6y\,z\ln(t^2),\;\partial_z V_z=3y^2\ln(t^2), (\vec V\cdot\nabla)V_z =(-y^3-4zt^3)\,6y\,z\ln(t^2) +\bigl(3y^2z\ln(t^2)\bigr)\,3y^2\ln(t^2) =-6y^4z\ln(t^2)-24y\,z^2t^3\ln(t^2) +9y^4z\,[\ln(t^2)]^2.
  • Para i=x, todos termos são zero.
    3. Somando local + convectiva obtemos
a_x=0,
a_y =-12\,z\,t^2 +3y^5+12y^2z\,t^3-12y^2z\,t^3\ln(t^2),
a_z =\frac{6\,y^2\,z}{t} -6y^4z\ln(t^2)-24y\,z^2t^3\ln(t^2) +9y^4z\,[\ln(t^2)]^2.

Passo 5

Para ver se é rotacional calculamos o rotor \vec\omega=\nabla\times\vec V.
\omega_x = \partial_y V_z - \partial_z V_y =6y\,z\ln(t^2)-(-4t^3) =6y\,z\ln(t^2)+4t^3\neq0
\omega_y = \partial_z V_x - \partial_x V_z=0, \quad \omega_z = \partial_x V_y - \partial_y V_x=0.
Como \omega_x\neq0, o escoamento é rotacional.

Resposta

a) Bidimensional.
b) Transiente (não estacionário).
c)
\displaystyle a_x=0, \displaystyle a_y=-12z\,t^2+3y^5+12y^2z\,t^3-12y^2z\,t^3\ln(t^2), \displaystyle a_z=\frac{6y^2z}{t}-6y^4z\ln(t^2)-24y\,z^2t^3\ln(t^2)+9y^4z\,[\ln(t^2)]^2.
d) Rotacional.

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