Numa instalação industrial, um protótipo constituído de um conjunto de pás operando a velocidade angular de 0,2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} é usado para misturar um tipo de óleo vegetal (massa específica \rho=914 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e viscosidade dinâmica \mu=5,9 \times 10-3 Pa.s ) em um tanque cilíndrico com diâmetro D. Em laboratório constrói-se um modelo geometricamente semelhante deste dispositivo com diâmetro do tanque dez vezes menor e funcionando com água (massa específica \rho=983,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e viscosidade dinâmica \mu=0,4668 \times 10-3 Pa.s) e com as pás a uma velocidade angular \omega m de forma que se encontre a semelhança dinâmica entre eles. (a) Quanto vale \omega m ? (b) Se o modelo em escala reduzida usado em laboratório requer um torque 0,4 \mathrm{~N} . \mathrm{m}, qual é o torque necessário para se utilizar no protótipo da instalação industrial?

Passo 1

O enunciado fala de dois aparelhos geometricamente semelhantes (escala 1:10 no diâmetro do tanque), um protótipo industrial com pás girando a \omega_p=0,2,rad/s num óleo vegetal ( \rho_p=914,kg/ m^{3}, \mu_p=5{,}9\times10^{-3},P a\cdot s) e um modelo em laboratório com água ( \rho_m=983{,}2,kg/ m^{3}, \mu_m=0{,}4668\times10^{-3},P a\cdot s) girando a uma velocidade \omega_m. Queremos (a) achar \omega_m para garantir semelhança dinâmica e (b) dada a resposta em torque no modelo, calcular o torque necessário no protótipo. A semelhança dinâmica aqui exige mesmo número de Reynolds e mesma distribuição dos coeficientes adimensionais de torque.

Passo 2

Para semelhança dinâmica igualamos o número de Reynolds do protótipo e do modelo. Com escala linear D_p/D_m=10 e característica de velocidade U\sim\omega D, usamos
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,\omega\,D^2}{\mu}.
Logo,
\frac{\rho_m\,\omega_m\,D_m^2}{\mu_m} =\frac{\rho_p\,\omega_p\,D_p^2}{\mu_p} \quad\longrightarrow\quad \frac{\rho_m\,\omega_m\,(D/10)^2}{\mu_m} =\frac{\rho_p\,(0,2)\,D^2}{\mu_p}.

Passo 3

Isolando \omega_m e cancelando D^2:
\omega_m =100\;\frac{\rho_p\,\omega_p\,\mu_m}{\rho_m\,\mu_p}.
Substituindo valores:
\omega_m =100\;\frac{914\cdot0,2\cdot0{,}4668\times10^{-3}} {983{,}2\cdot5{,}9\times10^{-3}} \approx1{,}47\;\text{rad/s}.

Passo 4

Para o torque usamos o fato de que o coeficiente adimensional de torque
C_T=\frac{T}{\rho\,\omega^2\,D^5}
é o mesmo nos dois casos. Assim
T\propto \rho\,\omega^2\,D^5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_p}{T_m} =\frac{\rho_p\,\omega_p^2\,D_p^5}{\rho_m\,\omega_m^2\,D_m^5}.

Passo 5

Como D_p/D_m=10, isso vira
T_p = T_m\;10^5\; \frac{\rho_p\,\omega_p^2}{\rho_m\,\omega_m^2}.
Inserindo T_m=0,4, N\cdot m, \rho_p=914, \omega_p=0,2, \rho_m=983{,}2, \omega_m=1{,}47:
T_p = 0{,}4\cdot10^5\; \frac{914\cdot(0,2)^2}{983{,}2\cdot(1{,}47)^2} \approx 6,9\times10^2\;\text{N\cdot m}.

Resposta

(a) \omega_m\approx1,47,rad/s
(b) T_p\approx6,9\times10^2, N\cdot m

Exercícios relacionados