Sejam os conjuntos A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{u, v, w, x, y, z\}, C=\{p, q, r, s, t\}, e as funções f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C definidas por f=\{(1, u),(2, v),(3, w),(4, x),(5, y),(6, z)\}, g=\{(u, p),(v, q), (w, r),(x, s),(y, t),(z, p)\}. Encontre a função composta g \circ f: A \rightarrow C. Verifique se gof é injetora e/ou sobrejetora

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A = \{1,2,3,4,5,6\},\quad B = \{u,v,w,x,y,z\},\quad C = \{p,q,r,s,t\},
e as funções
f\colon A \to B,\quad f = \{(1,u), (2,v), (3,w), (4,x), (5,y), (6,z)\},
g\colon B \to C,\quad g = \{(u,p), (v,q), (w,r), (x,s), (y,t), (z,p)\}.
Queremos achar a função composta (g\circ f)\colon A\to C e decidir se ela é injetora e/ou sobrejetora. Vamos usar a definição de composição e depois testar as propriedades de injeção e sobrejeção.

Passo 2

Para cada a\in A, (g\circ f)(a) = g\bigl(f(a)\bigr). Fazendo isso elemento a elemento:
\begin{aligned} 1 &\mapsto f(1)=u \mapsto g(u)=p,\\\\ 2 &\mapsto f(2)=v \mapsto g(v)=q,\\\\ 3 &\mapsto f(3)=w \mapsto g(w)=r,\\\\ 4 &\mapsto f(4)=x \mapsto g(x)=s,\\\\ 5 &\mapsto f(5)=y \mapsto g(y)=t,\\\\ 6 &\mapsto f(6)=z \mapsto g(z)=p. \end{aligned}
Logo
g\circ f = \{(1,p),(2,q),(3,r),(4,s),(5,t),(6,p)\}.

Passo 3

Injetividade exige que elementos distintos em A tenham imagens distintas. Aqui vemos
(g\circ f)(1) = p \quad\text{e}\quad (g\circ f)(6) = p,
mas 1\neq6. Portanto há colisão de imagem, e g\circ f não é injetora.

Passo 4

Sobrejetividade exige que cada c\in C seja atingido por algum a\in A. As imagens de g\circ f são
\{p,q,r,s,t\},
que coincide exatamente com C. Todos os elementos de C aparecem. Logo g\circ f é sobrejetora.

Resposta

g\circ f = \{(1,p),(2,q),(3,r),(4,s),(5,t),(6,p)\},
não injetora e sobrejetora.

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