QUESTÃO No. 2 (25 pontos)
Fazendo a substituição
e escolhendo convenientemente o valor de
, mostre que a seguinte equação diferencial pode se transformar em uma equação de variáveis separáveis:
Resolva, então, a equação diferencial em questão e deduza que a solução dela vem dada por
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para mostrar que, fazendo a substituição
com escolha adequada de
, ela se transforma em equação de variáveis separáveis, resolver essa equação e deduzir que a solução geral satisfaz
Passo 2
Substituímos
. Então
No mesmo sentido, o lado direito da equação original fica
Passo 3
Igualando as duas expressões de
e dividindo por
, obtemos
Reagrupando os termos em
no lado direito:
Passo 4
Para eliminar o termo
e deixar a equação separável, escolhemos
Com isso sobra
Isso é separável.
Passo 5
Separamos variáveis e integramos:
Passo 6
Voltando à substituição
(pois
implica
), obtemos
Aplicando exponencial em ambos os lados:
Renomeando
como
, chega-se à forma final da solução: