QUESTÃO No. 2 (25 pontos)

Fazendo a substituição y=z x^{\alpha} e escolhendo convenientemente o valor de \alpha, mostre que a seguinte equação diferencial pode se transformar em uma equação de variáveis separáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{1-x y^{2}}{2 x^{2} y}
Resolva, então, a equação diferencial em questão e deduza que a solução dela vem dada por
x=C e^{x y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{1 - x y^{2}}{2 x^{2} y}
e pede para mostrar que, fazendo a substituição
y = z\,x^{\alpha}
com escolha adequada de \alpha, ela se transforma em equação de variáveis separáveis, resolver essa equação e deduzir que a solução geral satisfaz
x = C\,e^{x y^{2}}.

Passo 2

Substituímos y = z\,x^{\alpha}. Então
\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}\bigl(z\,x^{\alpha}\bigr) = x^{\alpha}\frac{d z}{d x} + \alpha\,x^{\alpha-1}z.
No mesmo sentido, o lado direito da equação original fica
\frac{1 - x y^{2}}{2 x^{2}y} = \frac{1 - x\,(z\,x^{\alpha})^{2}}{2 x^{2}\,(z\,x^{\alpha})} = \frac{1 - z^{2}x^{2\alpha+1}}{2z\,x^{\alpha+2}}.

Passo 3

Igualando as duas expressões de \tfrac{d y}{d x} e dividindo por x^{\alpha}, obtemos
\frac{d z}{d x} + \alpha\,\frac{z}{x} = \frac{1 - z^{2}x^{2\alpha+1}}{2z\,x^{2\alpha+2}} = \frac{1}{2z\,x^{2\alpha+2}} - \frac{z}{2x}.
Reagrupando os termos em z/x no lado direito:
\frac{d z}{d x} = \frac{1}{2z\,x^{2\alpha+2}} - \frac{1}{2}\,\frac{z}{x} - \alpha\,\frac{z}{x} = \frac{1}{2z\,x^{2\alpha+2}} -\Bigl(\frac12+\alpha\Bigr)\frac{z}{x}.

Passo 4

Para eliminar o termo \propto z/x e deixar a equação separável, escolhemos
\frac12 + \alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = -\tfrac12.
Com isso sobra
\frac{d z}{d x} = \frac{1}{2z\,x^{2(-\tfrac12)+2}} = \frac{1}{2z\,x^{1}} = \frac{1}{2z\,x}.
Isso é separável.

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
2z\,d z = \frac{d x}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int 2z\,d z = \int \frac{d x}{x} \quad\Longrightarrow\quad z^{2} = \ln x + C_{1}.

Passo 6

Voltando à substituição z = y\,x^{1/2} (pois \alpha=-\tfrac12 implica y = z\,x^{-1/2}), obtemos
x\,y^{2} = z^{2} = \ln x + C_{1}.
Aplicando exponencial em ambos os lados:
e^{x y^{2}} = e^{\ln x + C_{1}} = e^{C_{1}}\;x.
Renomeando e^{C_{1}} como C, chega-se à forma final da solução:

Resposta

x = C\,e^{x\,y^{2}}.

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