Questão 1: ( 25 pontos) Responda as questões abaixo com verdadeiro ou falso, justificando suas respostas.
(a) Se
é uma matriz quadrada de ordem
triangular superior (ou inferior) então
.
(b) Se
é uma matriz invertível então o sistema
possui única solução.
(c) Se
é uma matriz quadrada de ordem
e
então
.
(d) Se
é uma matriz quadrada de ordem 2 então
.
e) Se
e
são matrizes tais que
então
ou
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
e) Se
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se cada uma das afirmações (a) a (e) é verdadeira ou falsa e que eu justifique cada resposta. Vou listar claramente o que cada item afirma e os dados que são fornecidos:
- (a) Afirma que: “Se
é uma matriz quadrada de ordem triangular superior (ou inferior) então .” - (b) Afirma que: “Se
é uma matriz invertível então o sistema possui única solução.” - (c) Afirma que: “Se
é uma matriz quadrada de ordem e então .” (Aqui denota a transposta de .) - (d) Afirma que: “Se
é uma matriz quadrada de ordem então .” - (e) Afirma que: “Se
e são matrizes tais que então ou .”
Dados relevantes: cada item refere-se a matrizes (algumas quadradas, algumas de ordem
), determinantes, inversas e produto de matrizes. A tarefa é decidir verdadeiro ou falso e justificar de forma clara e completa.
Passo 2
Analisando (a). Primeiro explico com calma o que é uma matriz triangular e uma propriedade importante dos determinantes.
- Definição: uma matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero; triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Exemplo de matriz triangular superior
:
- Propriedade conhecida (e que vou justificar de forma simples): para uma matriz triangular
vale
ou seja, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Intuição rápida: ao desenvolver o determinante por expansão (ou ao fatorar constantes por linha), todos os termos que contêm elementos fora da diagonal ficam cancelados/zerados por causa dos elementos nulos; o único produto que sobrevive é o produto dos termos diagonais — outro modo de ver é que se for triangular pode-se triangularizar por operações elementares que não alteram o produto dos pivôs, etc.
- O enunciado de (a) diz que o determinante é a soma
. Isso contradiz a propriedade correta (produto). Portanto a afirmação é falsa.
Contraexemplo numérico (muito simples) para fixar a ideia: tome
O determinante é
e não
. Logo (a) é falsa.]
Passo 3
Analisando (b). Vou explicar o que significa matriz invertível e como isso implica unicidade de solução.
- Definição: uma matriz quadrada
é invertível (ou não singular) se existe tal que
onde
é a matriz identidade da mesma ordem. Isso significa que
tem “inverso” multiplicativo.
- Consequência direta para sistemas lineares: considere o sistema matricial
onde
e
são vetores (ou matrizes colunas) compatíveis. Se
é invertível, multiplico ambos os lados à esquerda por
e obtenho
ou seja
Isso fornece uma solução explícita. Explico por que é única: suponha que existam duas soluções
e
tais que
e
. Subtraindo as duas equações,
Multiplicando à esquerda por
obtemos
, logo
. Ou seja, não podem existir duas soluções distintas. Portanto, se
é invertível, o sistema tem exatamente uma solução.
Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (c). A hipótese é
(a inversa é igual à transposta). Vou deduzir o valor do determinante.
- Observação importante: para qualquer matriz quadrada
vale a propriedade dos determinantes
Isto é, a operação de transposição não muda o determinante.
- Outra propriedade: para matrizes invertíveis vale
- Se
, aplicando determinante em ambos os lados:
Usando as propriedades acima:
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
, já que
tem inversa) chega-se a
Portanto
Interpretação: matrizes que satisfazem
são as chamadas matrizes ortogonais (no caso de entradas reais) e realmente têm determinante
ou
. Logo (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d). Vou usar a propriedade do determinante em relação à multiplicação por escalar.
- Propriedade geral: para qualquer escalar
e qualquer matriz de ordem vale
Intuição: multiplicar a matriz por
equivale a multiplicar cada linha (ou coluna) por
; como há
linhas, o fator global é
.
- No caso dado,
e a matriz tem ordem (ou seja ). Então
Portanto a igualdade
só seria verdadeira se
, o que não é verdade. Assim, a afirmação do enunciado é falsa.
Contraexemplo simples: para
(matriz identidade
),
logo
. Confirma que (d) é falsa.
Passo 6
Analisando (e). A afirmação diz que se
então
ou
. Vou mostrar por que isto é falso e dar um contraexemplo explícito.
-
Observação teórica curta: análoga à ideia de “domínio íntegro” em álgebra, se numa estrutura
implicasse ou isso significaria ausência de divisor de zero. O anel de matrizes (sobre um corpo) tem divisores de zero: existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero. -
Contraexemplo concreto
: defina
Calculando o produto
:
Aqui
(matriz nula), apesar de
e
. Portanto a afirmação é falsa.
Conclusão: (e) é falsa.]
Resposta
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso