Questão 1: ( 25 pontos) Responda as questões abaixo com verdadeiro ou falso, justificando suas respostas.
(a) Se A=\left[a_{i j}\right] é uma matriz quadrada de ordem n triangular superior (ou inferior) então \operatorname{det} A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}.
(b) Se A é uma matriz invertível então o sistema A X=B possui única solução.
(c) Se A é uma matriz quadrada de ordem n e A^{-1}=A^{\prime} então \operatorname{det} A= \pm 1.
(d) Se B é uma matriz quadrada de ordem 2 então \operatorname{det}(-B)=-\operatorname{det} B.
e) Se A e B são matrizes tais que A B=0 então A=0 ou B=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se cada uma das afirmações (a) a (e) é verdadeira ou falsa e que eu justifique cada resposta. Vou listar claramente o que cada item afirma e os dados que são fornecidos:
  • (a) Afirma que: “Se A=\left[a_{ij}\right] é uma matriz quadrada de ordem n triangular superior (ou inferior) então \det A = a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}.”
  • (b) Afirma que: “Se A é uma matriz invertível então o sistema A X = B possui única solução.”
  • (c) Afirma que: “Se A é uma matriz quadrada de ordem n e A^{-1}=A^{\prime} então \det A = \pm 1.” (Aqui A^{\prime} denota a transposta de A.)
  • (d) Afirma que: “Se B é uma matriz quadrada de ordem 2 então \det(-B) = -\det B.”
  • (e) Afirma que: “Se A e B são matrizes tais que A B = 0 então A = 0 ou B = 0.”
Dados relevantes: cada item refere-se a matrizes (algumas quadradas, algumas de ordem 2), determinantes, inversas e produto de matrizes. A tarefa é decidir verdadeiro ou falso e justificar de forma clara e completa.

Passo 2

Analisando (a). Primeiro explico com calma o que é uma matriz triangular e uma propriedade importante dos determinantes.
  • Definição: uma matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero; triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Exemplo de matriz triangular superior 2\times2:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\[4pt] 0 & a_{22} \end{pmatrix}.
  • Propriedade conhecida (e que vou justificar de forma simples): para uma matriz triangular n\times n vale
\det A = a_{11}\,a_{22}\,\cdots\,a_{nn},
ou seja, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Intuição rápida: ao desenvolver o determinante por expansão (ou ao fatorar constantes por linha), todos os termos que contêm elementos fora da diagonal ficam cancelados/zerados por causa dos elementos nulos; o único produto que sobrevive é o produto dos termos diagonais — outro modo de ver é que se for triangular pode-se triangularizar por operações elementares que não alteram o produto dos pivôs, etc.
  • O enunciado de (a) diz que o determinante é a soma a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}. Isso contradiz a propriedade correta (produto). Portanto a afirmação é falsa.
Contraexemplo numérico (muito simples) para fixar a ideia: tome
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
O determinante é
\det A = 2\cdot 3 = 6,
e não 2+3=5. Logo (a) é falsa.]

Passo 3

Analisando (b). Vou explicar o que significa matriz invertível e como isso implica unicidade de solução.
  • Definição: uma matriz quadrada A é invertível (ou não singular) se existe A^{-1} tal que
A^{-1}A = AA^{-1} = I,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem. Isso significa que A tem “inverso” multiplicativo.
  • Consequência direta para sistemas lineares: considere o sistema matricial
A X = B,
onde X e B são vetores (ou matrizes colunas) compatíveis. Se A é invertível, multiplico ambos os lados à esquerda por A^{-1} e obtenho
A^{-1}(A X) = A^{-1}B \quad\Rightarrow\quad (A^{-1}A) X = A^{-1}B \quad\Rightarrow\quad I X = A^{-1}B,
ou seja
X = A^{-1}B.
Isso fornece uma solução explícita. Explico por que é única: suponha que existam duas soluções X_1 e X_2 tais que A X_1 = B e A X_2 = B. Subtraindo as duas equações,
A(X_1 - X_2) = 0.
Multiplicando à esquerda por A^{-1} obtemos X_1 - X_2 = 0, logo X_1 = X_2. Ou seja, não podem existir duas soluções distintas. Portanto, se A é invertível, o sistema tem exatamente uma solução.
Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c). A hipótese é A^{-1} = A^{\prime} (a inversa é igual à transposta). Vou deduzir o valor do determinante.
  • Observação importante: para qualquer matriz quadrada A vale a propriedade dos determinantes
\det(A^{\prime}) = \det(A).
Isto é, a operação de transposição não muda o determinante.
  • Outra propriedade: para matrizes invertíveis vale
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.
  • Se A^{-1} = A^{\prime}, aplicando determinante em ambos os lados:
\det(A^{-1}) = \det(A^{\prime}).
Usando as propriedades acima:
\frac{1}{\det(A)} = \det(A).
Multiplicando ambos os lados por \det(A) (assumindo \det(A)\neq 0, já que A tem inversa) chega-se a
1 = (\det A)^2.
Portanto
\det A = \pm 1.
Interpretação: matrizes que satisfazem A^{-1}=A^{\prime} são as chamadas matrizes ortogonais (no caso de entradas reais) e realmente têm determinante +1 ou -1. Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d). Vou usar a propriedade do determinante em relação à multiplicação por escalar.
  • Propriedade geral: para qualquer escalar c e qualquer matriz A de ordem n vale
\det(cA) = c^{n}\det(A).
Intuição: multiplicar a matriz por c equivale a multiplicar cada linha (ou coluna) por c; como há n linhas, o fator global é c^n.
  • No caso dado, c=-1 e a matriz B tem ordem 2 (ou seja n=2). Então
\det(-B)=(-1)^{2}\det(B)=1\cdot\det(B)=\det(B).
Portanto a igualdade \det(-B) = -\det B só seria verdadeira se (-1)^2 = -1, o que não é verdade. Assim, a afirmação do enunciado é falsa.
Contraexemplo simples: para B = I_2 (matriz identidade 2\times2),
\det(B)=1,\qquad \det(-B)=\det(-I_2)=(-1)^2\det(I_2)=1,
logo \det(-B)=1\neq -1=-\det(B). Confirma que (d) é falsa.

Passo 6

Analisando (e). A afirmação diz que se AB=0 então A=0 ou B=0. Vou mostrar por que isto é falso e dar um contraexemplo explícito.
  • Observação teórica curta: análoga à ideia de “domínio íntegro” em álgebra, se numa estrutura xy=0 implicasse x=0 ou y=0 isso significaria ausência de divisor de zero. O anel de matrizes (sobre um corpo) tem divisores de zero: existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero.
  • Contraexemplo concreto 2\times2: defina
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando o produto AB:
AB=\begin{pmatrix} 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 & 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1\\[4pt] 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 & 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui AB=0 (matriz nula), apesar de A\neq 0 e B\neq 0. Portanto a afirmação é falsa.
Conclusão: (e) é falsa.]

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso

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