2^{a} Questão: ( 25 pontos) Calcule a integral
\iint_{R} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d A
colocando-a em coordenadas polares, onde R é a região do semiplano positivo (isto é y \geq 0 ) entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\,dA
onde R é a região do semiplano positivo ( y\geq 0) entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 2. Informações dadas que vamos usar: a função integranda é \frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} e a região R é o “anel” (ou coroa) com 1\leq r\leq 2 no semicírculo superior (isso é, \theta vai do ângulo mínimo ao máximo que cobre y\geq 0). A tarefa é escrever a integral em coordenadas polares e calculá‑la.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. O elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta: é preciso o fator jacobiano. Intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta (porque ao mudar \theta em d\theta uma circunferência de raio r tem arco de comprimento r\,d\theta). Assim o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Isso é crucial: sempre que mudamos para polares multiplicamos pela r do jacobiano.

Passo 3

Convertemos a integranda. Note que
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Logo
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(r^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = r^{3}.
Portanto a função integranda \frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} vira \frac{1}{r^{3}}. Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando em polares:
\frac{1}{r^{3}}\cdot r = \frac{1}{r^{2}}.

Passo 4

Agora determinamos os limites em polares para a região R. A região é o anel entre os círculos de raios 1 e 2, então r varia de 1 até 2:
1 \le r \le 2.
Como R está no semiplano superior y\ge 0, os ângulos \theta que cobrem essa metade do plano são todos os ângulos entre 0 e \pi:
0 \le \theta \le \pi.
Portanto a integral dupla em polares fica
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=1}^{2} \frac{1}{r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral iterada. Primeiro a integral em r:
\int_{r=1}^{2} \frac{1}{r^{2}}\,dr.
Recorde que \frac{d}{dr}\left(-\frac{1}{r}\right)=\frac{1}{r^{2}}. Assim a primitiva de r^{-2} é -r^{-1}. Avaliando de 1 a 2 temos
\left[-\frac{1}{r}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} -\bigl(-1\bigr) = -\frac{1}{2}+1 = \frac{1}{2}.

Passo 6

Restou agora integrar em \theta. Como a integral em r deu o valor \frac{1}{2} constante em \theta, temos
\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}.
Portanto o valor da integral dupla pedida é \displaystyle \frac{\pi}{2}. Você mandou bem chegando até aqui — a técnica chave é sempre: converter a função usando r, lembrar do jacobiano r, escolher os limites corretos para r e \theta, e integrar na ordem conveniente.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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