Questão: ( 25 pontos) Calcule a integral
colocando-a em coordenadas polares, onde
é a região do semiplano positivo (isto é
) entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 2 .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região do semiplano positivo (
) entre os círculos com centro na origem e raios
e
. Informações dadas que vamos usar: a função integranda é
e a região
é o “anel” (ou coroa) com
no semicírculo superior (isso é,
vai do ângulo mínimo ao máximo que cobre
). A tarefa é escrever a integral em coordenadas polares e calculá‑la.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos as transformações
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. O elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente
: é preciso o fator jacobiano. Intuitivamente, um pequeno retângulo em
tem lados aproximadamente
e
(porque ao mudar
em
uma circunferência de raio
tem arco de comprimento
). Assim o elemento de área é
Isso é crucial: sempre que mudamos para polares multiplicamos pela
do jacobiano.
Passo 3
Convertemos a integranda. Note que
Logo
Portanto a função integranda
vira
. Multiplicando pelo jacobiano
obtemos o integrando em polares:
Passo 4
Agora determinamos os limites em polares para a região
. A região é o anel entre os círculos de raios
e
, então
varia de
até
:
Como
está no semiplano superior
, os ângulos
que cobrem essa metade do plano são todos os ângulos entre
e
:
Portanto a integral dupla em polares fica
Passo 5
Calculamos a integral iterada. Primeiro a integral em
:
Recorde que
. Assim a primitiva de
é
. Avaliando de
a
temos
Passo 6
Restou agora integrar em
. Como a integral em
deu o valor
constante em
, temos
Portanto o valor da integral dupla pedida é
. Você mandou bem chegando até aqui — a técnica chave é sempre: converter a função usando
, lembrar do jacobiano
, escolher os limites corretos para
e
, e integrar na ordem conveniente.