Questão: ( 25 pontos) Use integração múltipla para deduzir a fórmula para o volume de uma região entre duas esferas concêntricas, uma de raio
e outra de raio
, com
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use integração múltipla para deduzir a fórmula do volume da região do espaço que fica entre duas esferas concêntricas, uma de raio
e outra de raio
, com
.
Informações dadas:
- Existem duas esferas concêntricas (mesmo centro).
- Os raios são
(esfera interna) e (esfera externa). -
. - Quero o volume da casca esférica compreendida entre as duas superfícies esféricas.
Pergunta explícita:
- Deduzir, por integração múltipla, a fórmula do volume dessa região em função de
e .
Passo 2
Escolha do método: por simetria radial (as superfícies são esferas concêntricas) a forma mais natural e simples é usar coordenadas esféricas e um triplo integral com o elemento de volume adequado. Vou explicar com calma o que são essas coordenadas e como montar o integral.
Passo 3
Apresentando coordenadas esféricas e suas variáveis (aulas passo a passo):
- Em coordenadas esféricas usamos três variáveis:
, e . -
é a distância do ponto ao centro (o raio radial), . -
é o ângulo polar (ou colatitude): ângulo entre o vetor posição e o eixo ; varia . -
é o ângulo azimutal no plano : varia .
-
- A posição em cartesianas
é dada por:
- Intuição:
mede “quão longe do centro”, escolhe a direção vertical e gira em torno do eixo vertical.
Passo 4
Derivando (explicando) o elemento de volume em coordenadas esféricas:
- Um elemento infinitesimal de coordenadas
tem comprimentos aproximados nas três direções: - na direção radial: comprimento
, - na direção polar: deslocamento aproximado
(arco sobre um círculo de raio ), - na direção azimutal: deslocamento aproximado
(arco sobre um círculo de raio ).
- na direção radial: comprimento
- O volume aproximado do pequeno paralelepípedo curvo é produto desses comprimentos:
- Portanto o jacobiano da mudança para coordenadas esféricas é
e o elemento de volume exato é
Passo 5
Definindo os limites de integração para a casca entre as esferas:
- Como as esferas são concêntricas,
varia entre a esfera interna e a externa, isto é . - Como quero a região inteira ao redor do centro,
percorre todo o intervalo . - E
percorre todo o círculo em torno do eixo : . - Assim o volume
é o triplo integral
Passo 6
Calcule a integral interna (integral em
):
- Primeiro integro em
, tratando e como constantes:
- Então o integral triplo reduz para
- Como
é constante em relação a e , posso colocá-la fora das integrais em ângulos.
Passo 7
Calcule a integral em
(integral de
de
a
):
- Sabemos que
- Substituindo,
Passo 8
Calcule a integral em
e junte tudo:
- A integral em
é simples:
- Multiplicando com o fator radial,
Passo 9
Comentário final e checagem rápida (opcional, para me deixar mais seguro):
- Posso entender o resultado também como a diferença dos volumes das duas esferas individuais:
o que confirma a consistência do que obtive por integração múltipla. Isso mostra que o processo está correto.