3^{a} Questão: ( 25 pontos) Use integração múltipla para deduzir a fórmula para o volume de uma região entre duas esferas concêntricas, uma de raio a e outra de raio b, com 0<a<b.

Passo 1

O enunciado pede que eu use integração múltipla para deduzir a fórmula do volume da região do espaço que fica entre duas esferas concêntricas, uma de raio a e outra de raio b, com 0<a<b.
Informações dadas:
  • Existem duas esferas concêntricas (mesmo centro).
  • Os raios são a (esfera interna) e b (esfera externa).
  • 0<a<b.
  • Quero o volume da casca esférica compreendida entre as duas superfícies esféricas.
Pergunta explícita:
  • Deduzir, por integração múltipla, a fórmula do volume dessa região em função de a e b.

Passo 2

Escolha do método: por simetria radial (as superfícies são esferas concêntricas) a forma mais natural e simples é usar coordenadas esféricas e um triplo integral com o elemento de volume adequado. Vou explicar com calma o que são essas coordenadas e como montar o integral.

Passo 3

Apresentando coordenadas esféricas e suas variáveis (aulas passo a passo):
  • Em coordenadas esféricas usamos três variáveis: \rho, \varphi e \theta.
    • \rho é a distância do ponto ao centro (o raio radial), \rho\ge 0.
    • \varphi é o ângulo polar (ou colatitude): ângulo entre o vetor posição e o eixo z; varia \varphi\in[0,\pi].
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy: varia \theta\in[0,2\pi].
  • A posição em cartesianas (x,y,z) é dada por:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Intuição: \rho mede “quão longe do centro”, \varphi escolhe a direção vertical e \theta gira em torno do eixo vertical.

Passo 4

Derivando (explicando) o elemento de volume em coordenadas esféricas:
  • Um elemento infinitesimal de coordenadas (\rho,\varphi,\theta) tem comprimentos aproximados nas três direções:
    • na direção radial: comprimento d\rho,
    • na direção polar: deslocamento aproximado \rho\,d\varphi (arco sobre um círculo de raio \rho),
    • na direção azimutal: deslocamento aproximado \rho\sin\varphi\,d\theta (arco sobre um círculo de raio \rho\sin\varphi).
  • O volume aproximado do pequeno paralelepípedo curvo é produto desses comprimentos:
dV \approx d\rho\cdot (\rho\,d\varphi)\cdot (\rho\sin\varphi\,d\theta)=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Portanto o jacobiano da mudança para coordenadas esféricas é \rho^{2}\sin\varphi e o elemento de volume exato é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Definindo os limites de integração para a casca entre as esferas:
  • Como as esferas são concêntricas, \rho varia entre a esfera interna e a externa, isto é \rho\in[a,b].
  • Como quero a região inteira ao redor do centro, \varphi percorre todo o intervalo [0,\pi].
  • E \theta percorre todo o círculo em torno do eixo z: \theta\in[0,2\pi].
  • Assim o volume V é o triplo integral
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=a}^{b}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Calcule a integral interna (integral em \rho):
  • Primeiro integro em \rho, tratando \varphi e \theta como constantes:
\int_{\rho=a}^{b}\rho^{2}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{\rho=a}^{\rho=b}=\frac{b^{3}-a^{3}}{3}.
  • Então o integral triplo reduz para
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\left(\frac{b^{3}-a^{3}}{3}\right)\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
  • Como \frac{b^{3}-a^{3}}{3} é constante em relação a \varphi e \theta, posso colocá-la fora das integrais em ângulos.

Passo 7

Calcule a integral em \varphi (integral de \sin\varphi de 0 a \pi):
  • Sabemos que
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2.
  • Substituindo,
V=\left(\frac{b^{3}-a^{3}}{3}\right)\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta.

Passo 8

Calcule a integral em \theta e junte tudo:
  • A integral em \theta é simples:
\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta=2\cdot(2\pi)=4\pi.
  • Multiplicando com o fator radial,
V=\left(\frac{b^{3}-a^{3}}{3}\right)\cdot 4\pi=\frac{4\pi}{3}\,\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).

Passo 9

Comentário final e checagem rápida (opcional, para me deixar mais seguro):
  • Posso entender o resultado também como a diferença dos volumes das duas esferas individuais:
V=\text{Voluna da esfera de raio }b - \text{Volume da esfera de raio }a=\frac{4\pi}{3}b^{3}-\frac{4\pi}{3}a^{3}=\frac{4\pi}{3}(b^{3}-a^{3}),
o que confirma a consistência do que obtive por integração múltipla. Isso mostra que o processo está correto.

Resposta

\displaystyle V=\frac{4\pi}{3}\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)

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