Questão 3 - (25 pontos)
Uma casca esférica fina de raio
é carregada com uma carga Q e ela está distribuída em sua superficie com uma densidade de carga
homogênea. Considere que o material que constitui a casca é um isolante elétrico.
a) (15 pontos) Calcule o potencial elétrico na superfície da casca esférica. O resultado deve depender da densidade de carga
.
b) (10 pontos) Calcule o potencial elétrico dentro da casca. O resultado obtido seria o mesmo se a casca fosse condutora?
Uma casca esférica fina de raio
a) (15 pontos) Calcule o potencial elétrico na superfície da casca esférica. O resultado deve depender da densidade de carga
b) (10 pontos) Calcule o potencial elétrico dentro da casca. O resultado obtido seria o mesmo se a casca fosse condutora?
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico gerado por uma casca esférica fina de raio
com carga total
distribuída uniformemente na superfície, de densidade
. O conteúdo aqui é eletrostática, mais precisamente o cálculo do potencial de uma distribuição de carga esférica usando a relação entre carga e densidade de superfície e a propriedade de que o campo elétrico dentro da casca é nulo.
Passo 2
Como a densidade de carga superficial é homogênea, a carga total
pode ser escrita em função de
e da área da esfera:
Passo 3
Para o potencial na superfície (em
), usamos a fórmula do potencial de uma carga pontual equivalente:
Substituindo
de
,
Passo 4
Para o ponto qualquer no interior da casca (
), o campo elétrico é zero (pela Lei de Gauss), logo o potencial é constante em toda a região interna. Como essa constante deve coincidir com o valor na superfície, obtemos
Passo 5
Se a casca fosse condutora, em equilíbrio eletrostático toda carga ainda ficaria na superfície e o campo interno seria zero. Logo o potencial interno seria igualmente constante e igual ao valor na superfície, que em função de
(agora determinada pelo condutor) daria o mesmo resultado.
Resposta
a)
b) Sim, seria o mesmo se a casca fosse condutora.
b)