Questão 3 - (25 pontos)
Uma casca esférica fina de raio R é carregada com uma carga Q e ela está distribuída em sua superficie com uma densidade de carga sigma homogênea. Considere que o material que constitui a casca é um isolante elétrico.
a) (15 pontos) Calcule o potencial elétrico na superfície da casca esférica. O resultado deve depender da densidade de carga sigma.
b) (10 pontos) Calcule o potencial elétrico dentro da casca. O resultado obtido seria o mesmo se a casca fosse condutora?

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico gerado por uma casca esférica fina de raio R com carga total Q distribuída uniformemente na superfície, de densidade sigma. O conteúdo aqui é eletrostática, mais precisamente o cálculo do potencial de uma distribuição de carga esférica usando a relação entre carga e densidade de superfície e a propriedade de que o campo elétrico dentro da casca é nulo.

Passo 2

Como a densidade de carga superficial é homogênea, a carga total Q pode ser escrita em função de sigma e da área da esfera:
Q = sigma cdot 4pi R^2

Passo 3

Para o potencial na superfície (em r=R), usamos a fórmula do potencial de uma carga pontual equivalente:
V(R) = 14pivarepsilon0,QR
Substituindo Q de sigma,
V(R) = 14pivarepsilon0,sigma,4pi R^2R = R,sigmavarepsilon0

Passo 4

Para o ponto qualquer no interior da casca ( r<R), o campo elétrico é zero (pela Lei de Gauss), logo o potencial é constante em toda a região interna. Como essa constante deve coincidir com o valor na superfície, obtemos
V(r<R) = V(R) = R,sigmavarepsilon0

Passo 5

Se a casca fosse condutora, em equilíbrio eletrostático toda carga ainda ficaria na superfície e o campo interno seria zero. Logo o potencial interno seria igualmente constante e igual ao valor na superfície, que em função de sigma (agora determinada pelo condutor) daria o mesmo resultado.

Resposta

a) V(R)=R,sigmavarepsilon0
b) V(r<R)=R,sigmavarepsilon0 Sim, seria o mesmo se a casca fosse condutora.

Exercícios relacionados