Questão 2. (2.0 pt). Sejam
e
quatro vetores de módulos iguais a
que formam um quadrado de resultante nula. Mostre que se trocarmos os sentidos de dois deles, alternadamente, a resultante terá módulo igual a zero.
Passo 1
O enunciado nos dá quatro vetores
de mesmo módulo
, dispostos sucessivamente de modo a formar um quadrado. Como são os lados de um quadrado, temos duas propriedades importantes:
- Fechamento do polígono, isto é,
- Lados opostos são paralelos e de sentidos contrários, logo
O objetivo é mostrar que, se invertermos o sentido de dois vetores alternados (isto é, ou de
e
, ou de
e
), a soma continua sendo nula.
Passo 2
Considere primeiro invertermos
e
. Chamemos os vetores novos de
A resultante fica
Passo 3
Agrupando termos na expressão de
, temos
Mas das propriedades do quadrado sabemos que
Portanto
ou seja, a resultante tem módulo zero.
Passo 4
O outro caso é invertermos
e
. Definimos
Então
E como já vimos
e
, segue novamente
.
Resposta
Em qualquer um dos dois casos de inversão alternada, a resultante é o vetor nulo, logo o seu módulo é zero.