Questão 2. (2.0 pt). Sejam d, b, c e d quatro vetores de módulos iguais a k que formam um quadrado de resultante nula. Mostre que se trocarmos os sentidos de dois deles, alternadamente, a resultante terá módulo igual a zero.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro vetores vec a,vec b,vec c,vec d de mesmo módulo k, dispostos sucessivamente de modo a formar um quadrado. Como são os lados de um quadrado, temos duas propriedades importantes:
  1. Fechamento do polígono, isto é,
vec a+vec b+vec c+vec d=vec 0
  1. Lados opostos são paralelos e de sentidos contrários, logo
vec c=-vec a e vec d=-vec b
O objetivo é mostrar que, se invertermos o sentido de dois vetores alternados (isto é, ou de vec a e vec c, ou de vec b e vec d), a soma continua sendo nula.

Passo 2

Considere primeiro invertermos vec a e vec c. Chamemos os vetores novos de
vec a'=-vec a, vec b'=vec b, vec c'=-vec c, vec d'=vec d
A resultante fica
vec R =vec a'+vec b'+vec c'+vec d' =-vec a+vec b-vec c+vec d

Passo 3

Agrupando termos na expressão de vec R, temos
vec R =-(vec a+vec c)+(vec b+vec d)
Mas das propriedades do quadrado sabemos que
vec a+vec c=vec a+(-vec a)=vec 0, vec b+vec d=vec b+(-vec b)=vec 0
Portanto
vec R=-(vec 0)+vec 0=vec 0,
ou seja, a resultante tem módulo zero.

Passo 4

O outro caso é invertermos vec b e vec d. Definimos
vec a'=vec a, vec b'=-vec b, vec c'=vec c, vec d'=-vec d
Então
vec R =vec a'-vec b'+vec c'-vec d' =vec a-vec b+vec c-vec d =(vec a+vec c)-(vec b+vec d)
E como já vimos vec a+vec c=vec 0 e vec b+vec d=vec 0, segue novamente vec R=vec 0.

Resposta

Em qualquer um dos dois casos de inversão alternada, a resultante é o vetor nulo, logo o seu módulo é zero.

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