QUESTÃO 2 ( 25 pontos) Considere um anel fino de raio e massa , com densidade linear de massa constante. Considere que o centro desse anel coincida com a origem de um sistema de coordenadas cartesiano. Considere que o eixo desse sistema de coordenadas seja perpendicular ao anel.
a)(10 pontos) Calcule o campo gravitacional gerado pelo anel em um ponto do eixo , localizado na posição .
b)(5 pontos) Determine o campo gravitacional na origem do sistema de coordenadas no centro do anel.
c)(10 pontos) Encontre a expressão para a força que atua sobre o anel devido a uma massa pontual colocada sobre o eixo no ponto , caso ela se encontre em uma posição muito distante do anel .
Passo 1
O enunciado trata de um anel fino de raio e massa , com densidade linear constante, cujo plano é perpendicular ao eixo e centro na origem. Precisamos usar a superposição e a lei da gravitação de Newton para (a) achar o campo gravitacional em um ponto do eixo , (b) avaliar esse campo em e (c) usar o resultado para obter a força sobre o anel devido a uma massa pontual em para .
Passo 2
Escrevemos a densidade linear
um elemento de massa
e o vetor posição do elemento no anel
O ponto de campo é , e a distância até é
Pela lei da gravitação, o campo diferencial é
dvec g = -G,dmr^3,(vec ra - vec r')
Passo 3
Por simetria, as componentes em hat j e hat k se cancelam ao integrar em thetain[0,2pi]. Só resta a componente em hat i: