QUESTÃO 2 ( 25 pontos) Considere um anel fino de raio R e massa M, com densidade linear de massa lambda constante. Considere que o centro desse anel coincida com a origem de um sistema de coordenadas cartesiano. Considere que o eixo x desse sistema de coordenadas seja perpendicular ao anel.
a)(10 pontos) Calcule o campo gravitacional gerado pelo anel em um ponto do eixo x, localizado na posição ra=a i.
b)(5 pontos) Determine o campo gravitacional na origem do sistema de coordenadas no centro do anel.
c)(10 pontos) Encontre a expressão para a força que atua sobre o anel devido a uma massa pontual m colocada sobre o eixo x no ponto ra=a i, caso ela se encontre em uma posição muito distante do anel (|a| gg R).

Passo 1

O enunciado trata de um anel fino de raio R e massa M, com densidade linear constante, cujo plano é perpendicular ao eixo x e centro na origem. Precisamos usar a superposição e a lei da gravitação de Newton para (a) achar o campo gravitacional vec g(ahat i) em um ponto do eixo x, (b) avaliar esse campo em a=0 e (c) usar o resultado para obter a força sobre o anel devido a uma massa pontual m em ahat i para |a|gg R.

Passo 2

Escrevemos a densidade linear
lambda = M2pi R,
um elemento de massa
dm = lambda,R,dtheta,
e o vetor posição do elemento no anel
vec r' = Rcostheta,hat j + Rsintheta,hat k
O ponto de campo é vec ra = a,hat i, e a distância até dm é
r = l|vec ra - vec r'r| = raiza^2 + R^2
Pela lei da gravitação, o campo diferencial é
dvec g = -G,dmr^3,(vec ra - vec r')

Passo 3

Por simetria, as componentes em hat j e hat k se cancelam ao integrar em thetain[0,2pi]. Só resta a componente em hat i:
dgx = -G,dmr^3,a = -G,lambda,R,a(a^2+R^2)^3/2,dtheta
Integrando de 0 a 2pi
gx = -G,lambda,R,a(a^2+R^2)^3/2integral0^2pidtheta = -G,M,a(a^2+R^2)^3/2
Portanto
vec g(ahat i) = gx,hat i = -G,M,a(a^2+R^2)^3/2,hat i

Passo 4

Para a=0, temos
vec g(0) = -G,Mcdot 0(0^2+R^2)^3/2,hat i = vec 0

Passo 5

A força que o anel sofre devido à massa m em ahat i é igual e oposta à força que m sofre do anel. Primeiro a força sobre m:
vec Fm = m,vec g(ahat i) = -G,M,m,a(a^2+R^2)^3/2,hat i
Logo, a força sobre o anel é
vec Frm anel = -vec Fm = +G,M,m,a(a^2+R^2)^3/2,hat i

Passo 6

Para |a|gg R expandimos (a^2+R^2)^-3/2approx a^-3, então
vec Frm anel approx G,M,m,aa^3,hat i = G,M,ma^2,hat i

Resposta

(a) vec g(ahat i)=-G,M,al(a^2+R^2r)^3/2,hat i
(b) vec g(0)=vec 0
(c) vec Frm anel=G,M,m,a(a^2+R^2)^3/2,hat iapprox G,M,ma^2,hat i para |a|gg R.

Exercícios relacionados