Questão 7. Calcule as integrais duplas.
integral duplaR 1-x d A, R é a região do primeiro quadrante compreendida por y=x e y=x^3.

Passo 1

O exercício pede pra calcular a integral dupla de f(x,y)=1-x sobre a região R do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^3 e y=x. O conteúdo é integração múltipla e vamos precisar determinar os limites de integração, montar a integral iterada e executar as integrais interna e externa.

Passo 2

Primeiro encontramos onde as curvas se intersectam no primeiro quadrante. Igualando x^3 = x temos
x^3 - x = 0 x(x^2 - 1) = 0 x = 0 ou x = 1 Como estamos no primeiro quadrante, os valores de interesse para x vão de 0 até 1. Para cada x nesse intervalo, y varia de y = x^3 (curva de baixo) até y = x (curva de cima).

Passo 3

Com isso, montamos a integral iterada:
,integral duplaR(1 - x),dA = integralx=0^1integraly=x^3^x(1 - x),dy,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em y:
integraly=x^3^x(1 - x),dy = (1 - x)l[yr]y=x^3^y=x = (1 - x)l(x - x^3r)

Passo 5

Simplificamos o resultado da interna:
(1 - x)(x - x^3) = x(1 - x)(1 - x^2)

Passo 6

Em seguida, fazemos a integral externa em x. Primeiro expandimos o integrando:
x(1 - x)(1 - x^2) = xl(1 - x - x^2 + x^3r) = x - x^2 - x^3 + x^4 Agora integramos de 0 a 1:
integral0^1(x - x^2 - x^3 + x^4),dx = l[tfracx^22 - tfracx^33 - tfracx^44 + tfracx^55r]0^1 = tfrac12 - tfrac13 - tfrac14 + tfrac15

Passo 7

Calculando em forma de fração sobre o mínimo múltiplo 60:
tfrac12=tfrac3060, tfrac13=tfrac2060, tfrac14=tfrac1560, tfrac15=tfrac1260, Então o valor final é
tfrac3060 - tfrac2060 - tfrac1560 + tfrac1260 = tfrac760

Resposta

760

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