Questão 3 (1.25 pontos):
Considere a região D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid a \leq x \leq b \mathbf{e} 0 \leq y \leq f(x)\right\}. Em aula, vimos que a integral dupla \iint_{D} 1 d A representa o volume do sólido cuja base é a região D e cuja altura constante é dada pela função f(x, y)=1. Ou seja, o resultado dessa integral corresponde à área da região D. No entanto, essa área também pode ser obtida pela integral simples \int_{a}^{b} f(x) d x. Discuta, com base nos exemplos estudados em sala, as vantagens de se utilizar uma integral dupla para calcular uma área. Apresente um exemplo que compare o uso de uma integral dupla com uma integral simples de uma função de uma variável, evidenciando em que contextos tal vantagem existe. Resolva o exemplo apresentado utilizando a integral dupla correspondente.

Passo 1

O enunciado pede para discutir as vantagens de usar uma integral dupla \iint_{D}1\,dA para calcular a área de uma região D\subset\mathbb{R}^2, mesmo sabendo que, em certos casos, basta usar a integral simples \int_a^b f(x)\,dx. O conteúdo é cálculo de áreas por integrais duplas e mudança de variáveis.

Passo 2

Uma grande vantagem da integral dupla é a flexibilidade para lidar com regiões cujas fronteiras não são dadas por uma única função y=f(x). Em coordenadas cartesianas padrão, precisamos que a região seja do tipo
D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;0\le y\le f(x)\},
mas muitas regiões aparecem melhor descritas em outras coordenadas (polares, por exemplo) ou têm contornos mistos (curvas não expressas como gráficos de funções de x). Nesses casos a integral simples \int_a^b f(x)\,dx ou \int_c^d g(y)\,dy pode não existir ou fica muito complicada, enquanto que a integral dupla, possivelmente em coordenadas polares ou outras, torna o cálculo direto e explorável por simetria.

Passo 3

Como exemplo, consideremos o quarto de círculo de raio R no primeiro quadrante, isto é,
D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le R^2,\;x\ge0,\;y\ge0\}.
Para calcular sua área por integral simples teríamos de usar
\text{Área}=\int_{0}^{R}\sqrt{R^2-x^2}\,dx,Á
o que exige uma substituição trigonométrica e leva a uma antiderivada relativamente trabalhosa.

Passo 4

Em vez disso, usamos integral dupla em coordenadas polares, onde
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
e a região D fica
0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le r\le R.
Logo,
\iint_{D}1\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{R}r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\Bigl[\frac{r^2}{2}\Bigr]_{0}^{R}d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\frac{R^2}{2}\,d\theta =\frac{R^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi R^2}{4}.

Resposta

A integral dupla em coordenadas polares fornece diretamente
\iint_{D}1\,dA=\frac{\pi R^2}{4},
mostrando como, em regiões circulares, a integral dupla é muito mais simples que a integral simples tradicional.

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