Questão 3 (1.25 pontos):
Considere a região
. Em aula, vimos que a integral dupla
representa o volume do sólido cuja base é a região
e cuja altura constante é dada pela função
. Ou seja, o resultado dessa integral corresponde à área da região
. No entanto, essa área também pode ser obtida pela integral simples
. Discuta, com base nos exemplos estudados em sala, as vantagens de se utilizar uma integral dupla para calcular uma área. Apresente um exemplo que compare o uso de uma integral dupla com uma integral simples de uma função de uma variável, evidenciando em que contextos tal vantagem existe. Resolva o exemplo apresentado utilizando a integral dupla correspondente.
Considere a região
Passo 1
O enunciado pede para discutir as vantagens de usar uma integral dupla
para calcular a área de uma região
, mesmo sabendo que, em certos casos, basta usar a integral simples
. O conteúdo é cálculo de áreas por integrais duplas e mudança de variáveis.
Passo 2
Uma grande vantagem da integral dupla é a flexibilidade para lidar com regiões cujas fronteiras não são dadas por uma única função
. Em coordenadas cartesianas padrão, precisamos que a região seja do tipo
mas muitas regiões aparecem melhor descritas em outras coordenadas (polares, por exemplo) ou têm contornos mistos (curvas não expressas como gráficos de funções de
). Nesses casos a integral simples
ou
pode não existir ou fica muito complicada, enquanto que a integral dupla, possivelmente em coordenadas polares ou outras, torna o cálculo direto e explorável por simetria.
Passo 3
Como exemplo, consideremos o quarto de círculo de raio
no primeiro quadrante, isto é,
Para calcular sua área por integral simples teríamos de usar
o que exige uma substituição trigonométrica e leva a uma antiderivada relativamente trabalhosa.
Passo 4
Em vez disso, usamos integral dupla em coordenadas polares, onde
e a região
fica
Logo,
Resposta
A integral dupla em coordenadas polares fornece diretamente
mostrando como, em regiões circulares, a integral dupla é muito mais simples que a integral simples tradicional.