Questão 1 (1.25 pontos):
Resolva as integrais abaixo:
\iiint_{E}\left(y+x y^{2}\right) d V, onde E=[-1,1] \times[0,2] \times[0,3].

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iiint_{E}\bigl(y + x\,y^{2}\bigr)\,dV
em
E = [-1,1]\times[0,2]\times[0,3].
O conteúdo é integral múltipla em paralelepípedo, usaremos o Teorema de Fubini e propriedades de simetria.

Passo 2

Pela linearidade de integrais, escrevemos
\iiint_{E}\bigl(y + x\,y^{2}\bigr)\,dV = \underbrace{\iiint_{E}y\,dV}_{I_{1}} \;+\;\underbrace{\iiint_{E}x\,y^{2}\,dV}_{I_{2}}.

Passo 3

Analisamos
I_{2} = \int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{-1}^{1}x\,y^{2}\,dx\,dy\,dz.
Para cada y,z fixos, \int_{-1}^{1}x\,dx=0 por simetria (função ímpar em x num intervalo simétrico). Logo
I_{2}=0.

Passo 4

Agora
I_{1} = \int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{-1}^{1}y\,dx\,dy\,dz.
Como y não depende de x nem de z, separam-se fatores:
\int_{-1}^{1}dx = 2, \qquad \int_{0}^{3}dz = 3,
\int_{0}^{2}y\,dy = \frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = 2.
Multiplicando,
I_{1} = 2 \times 2 \times 3 = 12.
Portanto
\iiint_{E}\bigl(y + x\,y^{2}\bigr)\,dV = I_{1} + I_{2} = 12 + 0 = 12.

Resposta

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