Questão 2 (1.25 pontos):
Dois alunos tentaram resolver a integral \int_{0}^{4} \int_{\frac{x^{2}}{2}}^{8} x \cos \left(y^{2}\right) d y d x, mas seguiram estratégias diferentes.
Aluno 1: Utiliza o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e propõe calcular \int_{\frac{x^{2}}{2}}^{8} \int_{0}^{4} x \cos \left(y^{2}\right) d x d y.
Aluno 2: Sugere uma mudança de representação da região de integração para uma região do tipo 2, e então calcula o valor de \int_{0}^{8} \int_{\sqrt{2 y}}^{4} x \cos \left(y^{2}\right) d x d y.
(a) Qual é o problema na abordagem do Aluno 1 ao aplicar o Teorema de Fubini? Explique sua resposta evidenciando os problemas que podem surgir nesta resolução.
(b) Explique por que a mudança de ordem de integração feita pelo Aluno 2 está errada. Indique quais deveriam ser os novos limites de integração após a mudança de ordem, se fosse correta.
(c) Qual é a resposta correta para essa integral? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
\int_{0}^{4}\!\int_{\tfrac{x^{2}}{2}}^{8} x\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx
usando mudança de ordem de integração. O conteúdo envolve o Teorema de Fubini e a descrição correta da região
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le4,\;\tfrac{x^{2}}{2}\le y\le8\bigr\}.
Para resolver precisamos (1) entender que não se troca integrais sem reescrever limites, (2) expressar D como região do tipo II (projeção no eixo y), e (3) calcular a integral resultante por substituição.

Passo 2

Aluno 1 simplesmente escreveu
\int_{\tfrac{x^{2}}{2}}^{8}\!\int_{0}^{4} x\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dx\,dy
trocando dx e dy sem alterar limites dependentes. Isso não descreve a mesma região D, pois ao trocar a ordem a variável interna “ x” deve ter limites que dependem de “ y”, não permanecer de 0 a 4 fixos. Em outras palavras, o Teorema de Fubini exige que, ao inverter integrais em uma região não retangular, você reescreva os limites para que a nova integral cubra exatamente o mesmo D.

Passo 3

Aluno 2 tentou escrever D como
0\le y\le8,\quad \sqrt{2y}\le x\le4,
mas isso inverte a desigualdade original \tfrac{x^{2}}{2}\le y. Na verdade, de \tfrac{x^{2}}{2}\le y segue
x^{2}\le2y\quad\Longrightarrow\quad 0\le x\le\sqrt{2y}.
Logo a descrição correta de D por “tipo II” é
0\le y\le8,\qquad 0\le x\le\sqrt{2y},
e a integral fica
\int_{y=0}^{8}\!\int_{x=0}^{\sqrt{2y}} x\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Com os limites corretos, calculamos em duas etapas:
Primeiro, a integral em x:
\int_{0}^{\sqrt{2y}} x\,dx =\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{\sqrt{2y}} =\frac{2y}{2} =y.
Em seguida
\int_{0}^{8}y\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dy.
Fazendo u=y^{2}, du=2y\,dy, obtemos
\int_{0}^{8}y\cos(y^{2})\,dy =\frac12\int_{0}^{64}\cos(u)\,du =\frac12\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{64} =\frac{\sin(64)}{2}.

Resposta

a) O aluno 1 não reescreveu os limites dependentes ao trocar dx e dy, logo a integral proposta não descreve a mesma região D.
b) O aluno 2 inverteu a desigualdade, colocando x de \sqrt{2y} a 4 quando, na verdade, 0\le x\le\sqrt{2y}. Os limites corretos seriam
0\le y\le8,\quad 0\le x\le\sqrt{2y}.
c) O valor da integral é
\frac{\sin(64)}{2}.

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