Questão 2 (1.25 pontos):
Dois alunos tentaram resolver a integral \int_{0}^{4} \int_{\frac{x^{2}}{2}}^{8} x \cos \left(y^{2}\right) d y d x, mas seguiram estratégias diferentes.
Aluno 1: Utiliza o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e propõe calcular \int_{\frac{x^{2}}{2}}^{8} \int_{0}^{4} x \cos \left(y^{2}\right) d x d y.
Aluno 2: Sugere uma mudança de representação da região de integração para uma região do tipo 2, e então calcula o valor de \int_{0}^{8} \int_{\sqrt{2 y}}^{4} x \cos \left(y^{2}\right) d x d y.
(a) Qual é o problema na abordagem do Aluno 1 ao aplicar o Teorema de Fubini? Explique sua resposta evidenciando os problemas que podem surgir nesta resolução.
(b) Explique por que a mudança de ordem de integração feita pelo Aluno 2 está errada. Indique quais deveriam ser os novos limites de integração após a mudança de ordem, se fosse correta.
(c) Qual é a resposta correta para essa integral? Justifique.
Para resolver precisamos (1) entender que não se troca integrais sem reescrever limites, (2) expressar D como região do tipo II (projeção no eixo y), e (3) calcular a integral resultante por substituição.
trocando dx e dy sem alterar limites dependentes. Isso não descreve a mesma região D, pois ao trocar a ordem a variável interna “x” deve ter limites que dependem de “y”, não permanecer de 0 a 4 fixos. Em outras palavras, o Teorema de Fubini exige que, ao inverter integrais em uma região não retangular, você reescreva os limites para que a nova integral cubra exatamente o mesmo D.
Passo 3
Aluno 2 tentou escrever D como
0\le y\le8,\quad \sqrt{2y}\le x\le4,
mas isso inverte a desigualdade original \tfrac{x^{2}}{2}\le y. Na verdade, de \tfrac{x^{2}}{2}\le y segue
a) O aluno 1 não reescreveu os limites dependentes ao trocar dx e dy, logo a integral proposta não descreve a mesma região D.
b) O aluno 2 inverteu a desigualdade, colocando x de \sqrt{2y} a 4 quando, na verdade, 0\le x\le\sqrt{2y}. Os limites corretos seriam