Questão 4 (2.5 pontos):
Considere a superfície
de equação dada por
(a)Identifique a superfície,isto é,dê o seu nome.
(b)Parametrize a curva
que é a interseção entre
e o plano
.
(c)Dê uma equação paramétrica da reta tangente a curva
no ponto
.
Considere a superfície
(b)Parametrize a curva
(c)Dê uma equação paramétrica da reta tangente a curva
Passo 1
O enunciado dá a superfície
de equação
e pede: (a) identificar o tipo de superfície; (b) parametrizar a curva
; (c) achar a reta tangente a
no ponto
.
Para isso vamos (i) reescrever a equação em forma canônica completando quadrados, (ii) intersectar com e ver que surge uma elipse, (iii) usar parametrização trigonométrica e derivar para obter a direção tangente.
Para isso vamos (i) reescrever a equação em forma canônica completando quadrados, (ii) intersectar com
Passo 2
Reescrevemos por quadrados completos:
Esse é o formato
ou seja, uma hipérbole com um sinal positivo e dois negativos, caracterizando um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de
.
Passo 3
Na interseção com o plano
tem-se
que é a equação de uma elipse no plano
. Uma parametrização trigonométrica natural é
com
. Assim
parametriza
.
Passo 4
A derivada dá o vetor tangente
No ponto
temos
portanto
Passo 5
A reta tangente no ponto
com direção
é
Em coordenadas paramétricas:
Resposta
(a) Hiperbolóide de duas folhas.
(b)
(c)
(b)
(c)