Questão 4 (2.5 pontos):
Considere a superfície \mathcal{S} de equação dada por
-2 x^{2}+y^{2}-z^{2}-2 z-2=0
(a)Identifique a superfície,isto é,dê o seu nome.
(b)Parametrize a curva \mathcal{C} que é a interseção entre \mathcal{S} e o plano y=\sqrt{2}
(c)Dê uma equação paramétrica da reta tangente a curva \mathcal{C} no ponto \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2},-1\right)

Passo 1

O enunciado dá a superfície \mathcal{S} de equação
-2x^{2}+y^{2}-z^{2}-2z-2=0
e pede: (a) identificar o tipo de superfície; (b) parametrizar a curva \mathcal{C}=\mathcal{S}\cap\{y=\sqrt{2}\}; (c) achar a reta tangente a \mathcal{C} no ponto \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2},-1\bigr).
Para isso vamos (i) reescrever a equação em forma canônica completando quadrados, (ii) intersectar com y=\sqrt{2} e ver que surge uma elipse, (iii) usar parametrização trigonométrica e derivar para obter a direção tangente.

Passo 2

Reescrevemos por quadrados completos:
-2x^{2}+y^{2}-\bigl(z^{2}+2z\bigr)-2=0 \quad\Longrightarrow\quad -2x^{2}+y^{2}-\bigl((z+1)^{2}-1\bigr)-2=0
-2x^{2}+y^{2}-(z+1)^{2}+1-2=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-2x^{2}-(z+1)^{2}=1.
Esse é o formato
\frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{1/2}-\frac{(z+1)^{2}}{1}=1,
ou seja, uma hipérbole com um sinal positivo e dois negativos, caracterizando um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de y.

Passo 3

Na interseção com o plano y=\sqrt{2} tem-se
-2x^{2}+(\sqrt{2})^{2}-z^{2}-2z-2=0 \;\Longrightarrow\; -2x^{2}+2-(z^{2}+2z)-2=0 \;\Longrightarrow\; 2x^{2}+(z+1)^{2}=1,
que é a equação de uma elipse no plano y=\sqrt{2}. Uma parametrização trigonométrica natural é
x(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t, \quad z(t)=-1+\sin t, \quad y(t)=\sqrt{2},
com t\in[0,2\pi). Assim
\mathbf{r}(t)=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\;\sqrt{2},\;-1+\sin t\Bigr)
parametriza \mathcal{C}.

Passo 4

A derivada dá o vetor tangente
\mathbf{r}'(t) =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t,\;0,\;\cos t\Bigr).
No ponto \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2},-1\bigr) temos
\cos t_{0}=\frac{x_{0}\sqrt{2}}{1}=-1 \quad\Longrightarrow\quad t_{0}=\pi, \quad \sin t_{0}=0,
portanto
\mathbf{r}'(\pi)=(0,0,-1).

Passo 5

A reta tangente no ponto \mathbf{p}=(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2},-1) com direção (0,0,-1) é
\ell(s)=\mathbf{p}+s\,\mathbf{r}'(\pi) =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;\sqrt{2},\;-1\Bigr) +s\,(0,0,-1).
Em coordenadas paramétricas:
x(s)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\quad y(s)=\sqrt{2},\quad z(s)=-1 - s.

Resposta

(a) Hiperbolóide de duas folhas.
(b) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\;\sqrt{2},\;-1+\sin t\bigr).
(c) \displaystyle x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;y=\sqrt{2},\;z=-1 - s.

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