Questão 3 (2.5 pontos):
Considere os pontos A=(1,0,1), B=(1,2,3) e C=(2,2,2) no espaço euclideano.
(a)Dê uma equação paramétrica da reta r que passa por A e B .
(b)Calcule a área do triângulo A B C .
(c)Dê uma equação cartesiana para o plano \pi que passa por A, B e C .
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço, A=(1,0,1), B=(1,2,3) e C=(2,2,2), e pede:
– (a) equação paramétrica da reta r que passa por A e B;
– (b) área do triângulo ABC;
– (c) equação cartesiana do plano \pi que passa por A, B e C.
Para isso vamos usar conceitos de vetor diretor de reta, produto vetorial para área de triângulo e normal de plano.
Passo 2
Para achar a reta r que passa por A e B, primeiro calculamos o vetor diretor
\vec{v} = \overrightarrow{AB} = B - A = (1,2,3) - (1,0,1) = (0,2,2).
Então uma equação paramétrica é
r(t):\;(x,y,z) = (1,0,1) + t\,(0,2,2),
ou seja
x = 1,\quad y = 2t,\quad z = 1 + 2t,\quad t\in\mathbb{R}.
O módulo é \sqrt{(-2)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.
Logo a área é
\frac12\cdot 2\sqrt3 = \sqrt3.
Passo 4
Para a equação do plano \pi que contém A,B,C, tomamos o mesmo normal \mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-2,2,-2).
A forma cartesiana é