Questão 3 (2.5 pontos):
Considere os pontos A=(1,0,1), B=(1,2,3) e C=(2,2,2) no espaço euclideano.
(a)Dê uma equação paramétrica da reta r que passa por A e B
(b)Calcule a área do triângulo A B C
(c)Dê uma equação cartesiana para o plano \pi que passa por A, B e C

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço, A=(1,0,1), B=(1,2,3) e C=(2,2,2), e pede:
– (a) equação paramétrica da reta r que passa por A e B;
– (b) área do triângulo ABC;
– (c) equação cartesiana do plano \pi que passa por A, B e C.
Para isso vamos usar conceitos de vetor diretor de reta, produto vetorial para área de triângulo e normal de plano.

Passo 2

Para achar a reta r que passa por A e B, primeiro calculamos o vetor diretor
\vec{v} = \overrightarrow{AB} = B - A = (1,2,3) - (1,0,1) = (0,2,2).
Então uma equação paramétrica é
r(t):\;(x,y,z) = (1,0,1) + t\,(0,2,2),
ou seja
x = 1,\quad y = 2t,\quad z = 1 + 2t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para a área do triângulo usamos a fórmula
\text{Área} = \tfrac12 \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.Á
Calculemos \overrightarrow{AC} = C - A = (2,2,2) - (1,0,1) = (1,2,1).
O produto vetorial fica
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2,\;2,\;-2).
O módulo é \sqrt{(-2)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.
Logo a área é
\frac12\cdot 2\sqrt3 = \sqrt3.

Passo 4

Para a equação do plano \pi que contém A,B,C, tomamos o mesmo normal
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-2,2,-2).
A forma cartesiana é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; -2(x-1)+2(y-0)-2(z-1)=0.
Isso simplifica para
-2x+2 +2y -2z+2=0 \;\Longrightarrow\; x - y + z = 2.

Resposta

(a) r(t):\;(x,y,z) = (1,0,1) + t\,(0,2,2).
(b) \sqrt{3}.
(c) x - y + z = 2.

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