Questão 2 (2.5 pontos):
Considere a curva parametrizada por
\gamma(t)=\left(-\operatorname{sen} t+t \cos t, \cos t+t \operatorname{sen} t, a t^{2}\right), \quad t \in[0,2 \pi]
Sabendo que o comprimento total desta curva é 6 \pi^{2} ,ache o valor de a

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\gamma(t)=\bigl(-\sin t + t\cos t,\;\cos t + t\sin t,\;a\,t^2\bigr), \quad t\in[0,2\pi]
e diz que o comprimento total é 6\pi^2. Para encontrar a, vamos usar a fórmula do comprimento de curva
L = \int_{0}^{2\pi}\|\gamma'(t)\|\,dt.

Passo 2

Primeiro derivamos componente a componente:
\gamma'(t) =\bigl((- \sin t)' + (t\cos t)',\;(\cos t)' + (t\sin t)',\;(a\,t^2)'\bigr).
Calculando:
(-\sin t)' = -\cos t,\quad (t\cos t)' = \cos t - t\sin t,
(\cos t)' = -\sin t,\quad (t\sin t)' = \sin t + t\cos t,
(a\,t^2)'=2a\,t.
Somando, obtemos
\gamma'(t)=\bigl(-t\sin t,\;t\cos t,\;2a\,t\bigr).

Passo 3

Agora a norma do vetor velocidade é
\|\gamma'(t)\| =\sqrt{(-t\sin t)^2 + (t\cos t)^2 + (2a\,t)^2} =\sqrt{t^2(\sin^2 t+\cos^2 t) + 4a^2\,t^2} =t\sqrt{1+4a^2}.

Passo 4

Substituindo na integral de comprimento:
L =\int_{0}^{2\pi} t\sqrt{1+4a^2}\,dt =\sqrt{1+4a^2}\int_{0}^{2\pi} t\,dt =\sqrt{1+4a^2}\,\frac{(2\pi)^2}{2} =2\pi^2\sqrt{1+4a^2}.
Como L=6\pi^2, igualamos
2\pi^2\sqrt{1+4a^2}=6\pi^2.

Passo 5

Dividindo por 2\pi^2 e resolvendo:
\sqrt{1+4a^2}=3 \quad\Longrightarrow\quad 1+4a^2=9 \quad\Longrightarrow\quad 4a^2=8 \quad\Longrightarrow\quad a^2=2 \quad\Longrightarrow\quad a=\pm\sqrt{2}.

Resposta

a=\pm\sqrt{2}

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