Questão 4: ( 25 pontos) Dados os pontos
A=(1,2,4), B=(-1,0,-2), C=(0,2,2) \text { e } D=(-2,1,-3),
faça o que se pede:
(b) ( 12 pontos) Cacule a área do triângulo de vértices A, B e C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,2,4),\qquad B=(-1,0,-2),\qquad C=(0,2,2)
e pede, especificamente para a letra (b), calcular a área do triângulo de vértices A, B e C.
Informações relevantes:
  • As coordenadas de A, B e C estão em \mathbb{R}^3.
  • Para um triângulo com vértices A,B,C em \mathbb{R}^3 uma forma direta de achar a área é usar o produto vetorial entre dois lados do triângulo e tomar metade da norma desse vetor:
\text{área}=\tfrac{1}{2}\,\big\| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|.á

Passo 2

Vou começar calculando os vetores que representam dois lados do triângulo a partir de A: \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Definição prática: se X=(x_1,x_2,x_3) e Y=(y_1,y_2,y_3) então \overrightarrow{XY}=Y-X=(y_1-x_1,\;y_2-x_2,\;y_3-x_3).

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB}=B-A:
\overrightarrow{AB}=(-1-1,\;0-2,\;-2-4)=(-2,\,-2,\,-6).
Expliquei cada componente subtraindo coordenada a coordenada: primeira componente -1-1=-2, segunda 0-2=-2, terceira -2-4=-6.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{AC}=C-A:
\overrightarrow{AC}=(0-1,\;2-2,\;2-4)=(-1,\;0,\;-2).
De novo, subtração componente a componente: 0-1=-1, 2-2=0, 2-4=-2.

Passo 5

Agora calculo o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Recorde rápido do produto vetorial em \mathbb{R}^3: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Geometricamente, \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular ao plano de \mathbf{u} e \mathbf{v} e com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Aplicando com \mathbf{u}=\overrightarrow{AB}=(-2,-2,-6) e \mathbf{v}=\overrightarrow{AC}=(-1,0,-2):
Calcule componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente} &= (-2)\cdot(-2) - (-6)\cdot 0 = 4 - 0 = 4,\\[4pt] \text{2ª componente} &= (-6)\cdot(-1) - (-2)\cdot(-2) = 6 - 4 = 2,\\[4pt] \text{3ª componente} &= (-2)\cdot 0 - (-2)\cdot(-1) = 0 - 2 = -2. \end{aligned}ªªª
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,\;2,\;-2).]

Passo 6

Calcular a norma (magnitude) do vetor resultante. Para \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3),
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Aqui \mathbf{w}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,2,-2), então
\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\| =\sqrt{4^2+2^2+(-2)^2} =\sqrt{16+4+4} =\sqrt{24}.
Simplificando \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}.
Lembrete: essa norma é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.

Passo 7

A área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo, logo
\text{área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\| =\tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}=\sqrt{6}.áâ

Resposta

\sqrt{6}

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