Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
Passo 1
O enunciado pede para transformar a dízima periódica
em uma fração ordinária (fração comum). Vou interpretar
como o número decimal em que o primeiro dígito após a vírgula é
e, a partir do segundo dígito, aparece infinitas repetições de
. Em notação de dízima isso é
.
Informações dadas: a parte inteira é ; após a vírgula há um algarismo não periódico (
) seguido por um algarismo periódico (
) que se repete indefinidamente.
Informações dadas: a parte inteira é
Passo 2
Vou explicar o método geral, passo a passo, antes de aplicar: suponha um número decimal com
dígitos não-periódicos após a vírgula e com período de comprimento
(ou seja,
dígitos que se repetem). Colocamos
igual ao número e multiplicamos por
e por
. Assim obtemos duas expressões em que a parte periódica fica alinhada; subtraindo uma da outra, a parte periódica se cancela e sobra uma equação polinomial em
que podemos resolver.
Explicando as variáveis: = número de dígitos não-periódicos depois da vírgula;
= comprimento do bloco que se repete. Multiplicamos por
para deslocar a vírgula de modo que o bloco periódico volte à mesma posição, e por
para deslocar apenas a parte não-periódica. A diferença elimina o infinito da repetição.
Explicando as variáveis:
Passo 3
Identifico
e
para o nosso número
: o dígito não-periódico é apenas o
, então
. O período é o único dígito
, então
.
Passo 4
Defina
como o número que queremos:
Agora multiplico por
e por
. Como
e
, temos
e
.
Calculos:
Passo 5
Subtraio as duas equações para eliminar a parte periódica:
No lado direito os
cancelam, sobrando:
Passo 6
Isolo
:
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador por um divisor comum. Ambos são divisíveis por
:
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar seguro):
. E
em decimal é
porque
. Assim a fração confirma o decimal inicial
. Boa!