Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
3,266 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para transformar a dízima periódica 3,266\ldots em uma fração ordinária (fração comum). Vou interpretar 3,266\ldots como o número decimal em que o primeiro dígito após a vírgula é 2 e, a partir do segundo dígito, aparece infinitas repetições de 6. Em notação de dízima isso é 3,2\overline{6}.
Informações dadas: a parte inteira é 3; após a vírgula há um algarismo não periódico ( 2) seguido por um algarismo periódico ( 6) que se repete indefinidamente.

Passo 2

Vou explicar o método geral, passo a passo, antes de aplicar: suponha um número decimal com n dígitos não-periódicos após a vírgula e com período de comprimento r (ou seja, r dígitos que se repetem). Colocamos x igual ao número e multiplicamos por 10^{\,n+r} e por 10^{\,n}. Assim obtemos duas expressões em que a parte periódica fica alinhada; subtraindo uma da outra, a parte periódica se cancela e sobra uma equação polinomial em x que podemos resolver.
Explicando as variáveis: n = número de dígitos não-periódicos depois da vírgula; r = comprimento do bloco que se repete. Multiplicamos por 10^{n+r} para deslocar a vírgula de modo que o bloco periódico volte à mesma posição, e por 10^n para deslocar apenas a parte não-periódica. A diferença elimina o infinito da repetição.

Passo 3

Identifico n e r para o nosso número 3,2\overline{6}: o dígito não-periódico é apenas o 2, então n=1. O período é o único dígito 6, então r=1.

Passo 4

Defina x como o número que queremos:
x = 3,2666\ldots
Agora multiplico por 10^{n} e por 10^{n+r}. Como n=1 e r=1, temos 10^{n}=10 e 10^{n+r}=100.
Calculos:
10x = 32,6666\ldots
100x = 326,6666\ldots

Passo 5

Subtraio as duas equações para eliminar a parte periódica:
100x - 10x = 326,6666\ldots - 32,6666\ldots
No lado direito os ,6666\ldots cancelam, sobrando:
90x = 326 - 32 = 294.

Passo 6

Isolo x:
x = \frac{294}{90}.
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador por um divisor comum. Ambos são divisíveis por 6:
\frac{294}{90} = \frac{294\div 6}{90\div 6} = \frac{49}{15}.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar seguro): \frac{49}{15} = 3 + \frac{4}{15}. E \frac{4}{15} em decimal é 0,2666\ldots porque \frac{4}{15}= \frac{2}{15}\cdot 2 = 0,2666\ldots. Assim a fração confirma o decimal inicial 3,2666\ldots. Boa!

Resposta

\displaystyle \frac{49}{15}

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