4^{a} Questão: [25 pontos] Estudos biológicos indicam que a massa corporal y de alguns mamíferos cresce com a altura x segundo uma lei de potência. A tabela abaixo mostra dados médios coletados
x \mathrm{em} \mathrm{cm} 50 60 70 80 90
y \mathrm{em} \mathrm{kg} 12 20 32 45 60
(a) Ajustar os dados a uma função potência y=a x^{b}.
(b) Usando o modelo encontrado encontre a massa de um animal com altura de 100 cm .

Passo 1

O enunciado dá cinco pares (x,y) com y crescendo segundo a lei de potência y = a\,x^b. Para ajustar os parâmetros a e b vamos usar a transformação logarítmica natural, que lineariza o modelo:
\ln y = \ln a + b\,\ln x.
Assim precisamos aplicar regressão linear aos pontos (\ln x_i,\ln y_i).

Passo 2

Calculemos \ln x e \ln y para cada par:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x_i & 50 & 60 & 70 & 80 & 90\\hline \ln x_i & 3{,}9120 & 4{,}0943 & 4{,}2485 & 4{,}3820 & 4{,}4998\\hline y_i & 12 & 20 & 32 & 45 & 60\\hline \ln y_i & 2{,}4849 & 2{,}9957 & 3{,}4657 & 3{,}8067 & 4{,}0943 \end{array}

Passo 3

Agora calculamos as somas necessárias (com n=5):
\sum \ln x_i \approx 21{,}1368,\quad \sum \ln y_i \approx 16{,}8473,
\sum (\ln x_i)^2 \approx 89{,}569,\quad \sum (\ln x_i\,\ln y_i)\approx 71{,}812.
A fórmula dos coeficientes da reta \ln y = A + b\,\ln x é
b = \frac{n\sum(\ln x_i\,\ln y_i)\;-\;\sum\ln x_i\,\sum\ln y_i} {\,n\sum(\ln x_i)^2 \;-\;(\sum\ln x_i)^2\,},
A = \frac{\sum\ln y_i - b\;\sum\ln x_i}{n},\quad\text{e então }a = e^{A}.ã

Passo 4

Substituindo os valores:
b = \frac{5\cdot71{,}812 - 21{,}1368\cdot16{,}8473}{5\cdot89{,}569 - (21{,}1368)^2} \approx \frac{359{,}06 - 356{,}10}{447{,}845 - 446{,}765} \approx \frac{2{,}963}{1{,}080} \approx 2{,}743,
A = \frac{16{,}8473 - 2{,}743\cdot21{,}1368}{5} \approx \frac{16{,}8473 - 57{,}999}{5} \approx -8{,}2303, \quad a = e^{-8{,}2303}\approx 0{,}000267.

Passo 5

O modelo ajustado é
y = 0{,}000267\,x^{2{,}743}.

Passo 6

Para x=100 cm, a massa prevista é
y(100) = 0{,}000267\cdot100^{2{,}743} = 0{,}000267\;\exp\bigl(2{,}743\ln100\bigr) \approx 82\\ \text{kg}.

Resposta

a) y = 0{,}000267\,x^{2{,}743}.
b) Para x=100 cm, y\approx 82 kg.

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