3^{a} Questão: [20 pontos] Calcule o valor aproximado de \int_{0}^{2}\left(3 \sin x-x^{4}\right) d x utilizando a regra 1 / 3 de Simpson com n=6. Encontre um limitante superior para o erro cometido na aproximação.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{2}\bigl(3\sin x - x^{4}\bigr)\,dx
usando a regra 1/3 de Simpson com n=6. Vamos precisar calcular o passo h, os nós x_i, os valores f(x_i) em cada nó, aplicar a fórmula de Simpson e em seguida obter um limitante superior para o erro usando a quarta derivada de f(x)=3\sin x - x^4.

Passo 2

O intervalo é [0,2] e n=6, logo
h=\frac{2-0}{6}=\frac{1}{3}.
Os nós são x_i = i\,h para i=0,1,\dots,6, isto é
x_0=0,\;x_1=\tfrac{1}{3},\;x_2=\tfrac{2}{3},\;x_3=1,\;x_4=\tfrac{4}{3},\;x_5=\tfrac{5}{3},\;x_6=2.

Passo 3

Calculamos f(x_i)=3\sin x_i - x_i^4 em cada nó (aproximações):
f(0)=0,
f(\tfrac{1}{3})\approx0,9692,
f(\tfrac{2}{3})\approx1,6576,
f(1)\approx1,5244,
f(\tfrac{4}{3})\approx -0,2430,
f(\tfrac{5}{3})\approx -4,7300,
f(2)\approx -13,2721.

Passo 4

A regra 1/3 de Simpson diz
\int_{0}^{2}f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+4f(x_5)+f(x_6)\Bigr].
Substituindo h=\tfrac{1}{3} e os valores de f(x_i) obtém-se
\int_{0}^{2}(3\sin x - x^4)\,dx \approx \frac{1/3}{3}\bigl(0 + 4\cdot0,9692 + 2\cdot1,6576 + 4\cdot1,5244 + 2\cdot(-0,2430) + 4\cdot(-4,7300) + (-13,2721)\bigr)\approx -2,1543.

Passo 5

Para o erro de Simpson precisamos de f^{(4)}(x). Como
f(x)=3\sin x - x^4 \quad\Rightarrow\quad f''''(x)=3\sin x - 24,
em [0,2] temos \sin x\in[0,0{,}9093], logo
\bigl|f''''(x)\bigr|\le24. O limite superior do erro é
|E|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\max_{[0,2]}\bigl|f''''(x)\bigr| =\frac{2}{180}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{4}\cdot24\approx0,0033.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{2}\bigl(3\sin x - x^{4}\bigr)\,dx\approx -2,1543
Limitante superior para o erro: 0,0033.

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