5^{a} Questão: [20 pontos] Uma estação meteorológica coleta os seguintes dados de temperatura durante o dia:
Hora x_{i} 6 9 12 15
Temperatura T\left(x_{i}\right) 14^{\circ} \mathrm{C} 18^{\circ} \mathrm{C} 21^{\circ} \mathrm{C} 20^{\circ} \mathrm{C}
Desejamos estimar a temperatura às 10 horas usando o polinômio de Interpolação de NEWTON

Passo 1

Temos as medições de temperatura em quatro instantes:
x_0=6, T(x_0)=14;
x_1=9, T(x_1)=18;
x_2=12, T(x_2)=21;
x_3=15, T(x_3)=20.
O objetivo é estimar T(10) construindo o polinômio interpolador de Newton com diferenças divididas.

Passo 2

Calculamos as primeiras diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{18-14}{9-6}=\frac{4}{3},\quad f[x_1,x_2]=\frac{21-18}{12-9}=1,\quad f[x_2,x_3]=\frac{20-21}{15-12}=-\frac{1}{3}.

Passo 3

Em seguida as segundas diferenças divididas:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{1-\tfrac{4}{3}}{12-6} =\frac{-\tfrac{1}{3}}{6}=-\frac{1}{18},\quad f[x_1,x_2,x_3]=\frac{-\tfrac{1}{3}-1}{15-9} =\frac{-\tfrac{4}{3}}{6}=-\frac{2}{9}.

Passo 4

Por fim, a terceira diferença dividida:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{-\tfrac{2}{9}-\bigl(-\tfrac{1}{18}\bigr)}{15-6} =\frac{-\tfrac{4}{18}+\tfrac{1}{18}}{9} =-\frac{1/6}{9}=-\frac{1}{54}.

Passo 5

O polinômio de Newton é
P(x)=14 +\frac{4}{3}(x-6) -\frac{1}{18}(x-6)(x-9) -\frac{1}{54}(x-6)(x-9)(x-12).

Passo 6

Avalia-mos em x=10:
P(10) =14 +\frac{4}{3}\cdot4 -\frac{1}{18}\cdot4\cdot1 -\frac{1}{54}\cdot4\cdot1\cdot(-2) =14+\frac{16}{3}-\frac{4}{18}+\frac{8}{54} =\frac{520}{27}\approx19{,}26.

Resposta

A estimativa da temperatura às 10 h é aproximadamente
T(10)\approx19{,}26\,^\circ\mathrm{C}.

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