2^{a} Questão: [20 pontos] Calcular a raiz de x^{3}-\cos (x)-4=0, pertencente ao intervalo [1,2], com precisão de 0,0005 usando o Método de Newton com no máximo 5 passos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de
f(x)=x^{3}-\cos(x)-4=0
no intervalo [1,2] com precisão de 0,0005 usando o Método de Newton em até 5 iterações.

Passo 2

No Método de Newton, a iteração é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde
f(x)=x^{3}-\cos(x)-4 \quad\text{e}\quad f'(x)=3x^{2}+\sin(x).

Passo 3

Escolhemos x_{0}=1,5. Calculamos
f(1,5)=1,5^{3}-\cos(1,5)-4\approx3,375-0,0707-4=-0,6957,
f'(1,5)=3\cdot1,5^{2}+\sin(1,5)\approx6,75+0,9975=7,7475,
x_{1}=1,5-\frac{-0,6957}{7,7475}\approx1,5898.

Passo 4

Iteramos mais duas vezes:
Para x_{1}=1,5898:
f(1,5898)\approx1,5898^{3}-\cos(1,5898)-4=4,0169-(-0,0198)-4=0,0367,
f'(1,5898)\approx3\cdot1,5898^{2}+\sin(1,5898)=7,5798+0,9998=8,5796,
x_{2}=1,5898-\frac{0,0367}{8,5796}\approx1,5855.
Para x_{2}=1,5855:
f(1,5855)\approx1,5855^{3}-\cos(1,5855)-4=3,9860-(-0,0147)-4=0,0007,
f'(1,5855)\approx3\cdot1,5855^{2}+\sin(1,5855)=7,5419+0,9999=8,5418,
x_{3}=1,5855-\frac{0,0007}{8,5418}\approx1,5854.

Passo 5

Verificamos que
|x_{3}-x_{2}|=|1,5854-1,5855|\approx0,00008<0,0005,
portanto a precisão desejada foi atingida na 3ª iteração.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx1,5854.

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