Exercício 1.5.1. Calcule as integrais:
Ic=integral(raizx^2+x^4) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ic = integral raizx^2 + x^4;dx
O conteúdo aqui é integração de funções envolvendo raiz quadrada de polinômio, que vamos tratar fatorando o integrando e usando substituição.

Passo 2

Observe que
raizx^2 + x^4 = raizx^2(1 + x^2) = |x|,raiz1 + x^2
Para não complicar com valor absoluto, vamos primeiro resolver no caso x>=0, onde |x|=x.

Passo 3

Para x>=0 temos
Ic = integral x,raiz1 + x^2;dx
Agora aplicamos a substituição apropriada.

Passo 4

Faça a troca
u = 1 + x^2 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 5

Substituindo na integral,
Ic = integral x,raiz1 + x^2;dx = integral raizu,du2 = 12integral u^1/2,du = 12cdotu^3/23/2 + C = 13,u^3/2 + C
Voltando a variável x,
Ic = 13,(1 + x^2)^3/2 + C

Resposta

Ic = tfrac13,(1 + x^2)^3/2 + C

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