3^{a} Questão: ( 25 pontos) Use integração múltipla para deduzir a fórmula para o volume de uma esfera sólida de raio a.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir a fórmula para o volume de uma esfera sólida de raio a usando integração múltipla.
Informações dadas e objetivo claro:
  • O raio da esfera é a.
  • Queremos o volume total do sólido esférico.
  • Devemos usar integração múltipla (ou seja, integrar em mais de uma variável).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação da esfera centrada na origem com raio a. A equação é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.
Para cada ponto (x,y) dentro da projeção da esfera no plano xy, a coordenada z varia entre a superfície superior e inferior. A superfície superior tem
z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}
e a inferior tem
z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
Logo, a “altura” do sólido sobre o ponto (x,y) é
\text{altura} = \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} - (-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}})=2\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
A projeção D da esfera no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.
Portanto, usando integração dupla para somar as alturas sobre D, o volume é
V=\iint_{D} 2\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}\\ dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 3

Para calcular a integral sobre o disco D é conveniente usar coordenadas polares, porque o domínio é circular e a expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2}. Em coordenadas polares usamos a mudança
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). O elemento de área transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
(Explicação do Jacobiano: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta.)

Passo 4

Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta na integral do volume, obtemos
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a} 2\sqrt{a^{2}-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Os limites de r vão de 0 a a porque a projeção D é o disco de raio a. Os limites de \theta são 0 a 2\pi para dar volta completa.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em r:
I_r=\int_{0}^{a} 2\,r\,\sqrt{a^{2}-r^{2}}\;dr.
Para resolver essa integral, usamos a substituição conveniente
u=a^{2}-r^{2}.
Então
du=-2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=-\tfrac{1}{2}du.
Quando r=0 temos u=a^{2} e quando r=a temos u=0. Substituindo,
I_r= \int_{r=0}^{r=a} 2\,r\,\sqrt{a^{2}-r^{2}}\;dr = 2\int_{u=a^{2}}^{u=0} \sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right).
O 2 e o -\tfrac{1}{2} se cancelam, ficando
I_r = -\int_{a^{2}}^{0} u^{1/2}\,du = \int_{0}^{a^{2}} u^{1/2}\,du.

Passo 6

Agora integramos u^{1/2}:
\int_{0}^{a^{2}} u^{1/2}\,du = \left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{a^{2}} = \tfrac{2}{3}(a^{2})^{3/2}.
Como (a^{2})^{3/2}=a^{3} (note que a>0 porque é raio), obtemos
I_r = \tfrac{2}{3}a^{3}.

Passo 7

Voltando à integral em \theta,
V=\int_{0}^{2\pi} I_r \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \tfrac{2}{3}a^{3}\\ d\theta.
Como \tfrac{2}{3}a^{3} é constante em relação a \theta,
V = \tfrac{2}{3}a^{3} \cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta = \tfrac{2}{3}a^{3}\cdot (2\pi) = \tfrac{4}{3}\pi a^{3}.

Passo 8

Resumo e checagem rápida: o resultado tem dimensão de volume (proporcional a a^{3}) e coincide com a fórmula conhecida. A técnica usada foi: projetar a esfera no plano xy, escrever a altura em função de x,y, trocar para coordenadas polares para aproveitar a simetria circular e calcular a integral dupla.

Resposta

\displaystyle V=\tfrac{4}{3}\pi a^{3}

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