Questão: ( 25 pontos) Use integração múltipla para deduzir a fórmula para o volume de uma esfera sólida de raio
.
Passo 1
O enunciado pede: deduzir a fórmula para o volume de uma esfera sólida de raio
usando integração múltipla.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- O raio da esfera é
. - Queremos o volume total do sólido esférico.
- Devemos usar integração múltipla (ou seja, integrar em mais de uma variável).
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação da esfera centrada na origem com raio
. A equação é
Para cada ponto
dentro da projeção da esfera no plano
, a coordenada
varia entre a superfície superior e inferior. A superfície superior tem
e a inferior tem
Logo, a “altura” do sólido sobre o ponto
é
A projeção
da esfera no plano
é o disco
Portanto, usando integração dupla para somar as alturas sobre
, o volume é
onde
é o elemento de área no plano
.
Passo 3
Para calcular a integral sobre o disco
é conveniente usar coordenadas polares, porque o domínio é circular e a expressão
vira
. Em coordenadas polares usamos a mudança
com
e
. O elemento de área transforma-se como
(Explicação do Jacobiano: um pequeno retângulo em
tem lados aproximadamente
e
, então a área é
.)
Passo 4
Substituindo
e
na integral do volume, obtemos
Os limites de
vão de
a
porque a projeção
é o disco de raio
. Os limites de
são
a
para dar volta completa.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em
:
Para resolver essa integral, usamos a substituição conveniente
Então
Quando
temos
e quando
temos
. Substituindo,
O
e o
se cancelam, ficando
Passo 6
Agora integramos
:
Como
(note que
porque é raio), obtemos
Passo 7
Voltando à integral em
,
Como
é constante em relação a
,
Passo 8
Resumo e checagem rápida: o resultado tem dimensão de volume (proporcional a
) e coincide com a fórmula conhecida. A técnica usada foi: projetar a esfera no plano
, escrever a altura em função de
, trocar para coordenadas polares para aproveitar a simetria circular e calcular a integral dupla.