Questão: (30 pontos)
Calcule a integral tripla,
onde
é o sólido cônico limitado pelas superfícies
e
.
Calcule a integral tripla,
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
onde
é o sólido limitado pelas superfícies
e
.
Informações dadas e observações geométricas imediatas:
A intersecção entre as duas ocorre quando
, isto é,
Portanto, a projeção de
no plano
é o disco de raio
centrado na origem. Nada mais é pedido além do valor numérico da integral.
Passo 2
Escolhendo coordenadas cilíndricas (explicação didática):
Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis tais que
Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis
onde
é a distância do ponto à origem no plano
e
é o ângulo polar (de
a
). Essa escolha é natural quando a região tem simetria circular (o disco
) e quando aparecem
no integrando.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Breve justificação do fator
: um pequeno retângulo em coordenadas
com lados
e
tem área aproximada
; ao incluir
temos o volume
. Em termos de jacobiano, este fator é o determinante da transformação
.
Passo 3
Conversão do integrando e do elemento de volume:
O integrando em coordenadas cilíndricas fica simplesmente
, pois
O integrando
Multiplicando pelo
temos o integrando total
Passo 4
Determinação dos limites de integração:
-
percorre todo o disco: . - Para um dado
com , varia entre a superfície inferior (pois ) e a superfície superior . Logo . -
varia de até (interseção com o plano dá ).
Portanto a integral vira
Passo 5
Integração em
(primeira integral a calcular):
Como é constante em relação a
, temos
Como
Assim a integral reduz-se a
Passo 6
Integração em
:
Calculo passo a passo
Calculo passo a passo
Passo 7
Integração em
e resultado final:
Agora multiplicamos pelo comprimento em :
Agora multiplicamos pelo comprimento em