4{ }^{a} Questão: (30 pontos)
Calcule a integral tripla,
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} d V
onde E é o sólido cônico limitado pelas superfícies z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e z=1.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} dV
onde E é o sólido limitado pelas superfícies z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e z=1.
Informações dadas e observações geométricas imediatas:
\text{superfície inferior: } z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},í
\text{superfície superior: } z=1.í
A intersecção entre as duas ocorre quando \sqrt{x^{2}+y^{2}}=1, isto é,
x^{2}+y^{2}=1.
Portanto, a projeção de E no plano xy é o disco de raio 1 centrado na origem. Nada mais é pedido além do valor numérico da integral.

Passo 2

Escolhendo coordenadas cilíndricas (explicação didática):
Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) tais que
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem no plano xy e \theta é o ângulo polar (de 0 a 2\pi). Essa escolha é natural quando a região tem simetria circular (o disco x^{2}+y^{2}\le 1) e quando aparecem \sqrt{x^{2}+y^{2}} no integrando.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Breve justificação do fator r: um pequeno retângulo em coordenadas (r,\theta) com lados dr e r\,d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta; ao incluir dz temos o volume r\,dr\,d\theta\,dz. Em termos de jacobiano, este fator é o determinante da transformação (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z).

Passo 3

Conversão do integrando e do elemento de volume:
O integrando \left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} em coordenadas cilíndricas fica simplesmente r, pois
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} = (r^{2})^{1/2} = r.
Multiplicando pelo dV temos o integrando total
r \cdot dV = r \cdot (r\,dr\,d\theta\,dz) = r^{2}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Determinação dos limites de integração:
  • \theta percorre todo o disco: \theta\in[0,2\pi].
  • Para um dado (r,\theta) com 0\le r\le 1, z varia entre a superfície inferior z=r (pois z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r) e a superfície superior z=1. Logo z\in[r,1].
  • r varia de 0 até 1 (interseção com o plano z=1 r=1).
Portanto a integral vira
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r}^{1} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integração em z (primeira integral a calcular):
Como r^{2} é constante em relação a z, temos
\int_{z=r}^{1} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl[z\bigr]_{z=r}^{z=1} = r^{2}(1 - r).
Assim a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}(1-r)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Integração em r:
Calculo passo a passo
\int_{0}^{1} r^{2}(1-r)\,dr = \int_{0}^{1} \bigl(r^{2} - r^{3}\bigr)\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3} - \frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.

Passo 7

Integração em \theta e resultado final:
Agora multiplicamos pelo comprimento em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{12}\,d\theta = \frac{1}{12}\bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{12}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{6}.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}

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