Informações relevantes: temos uma matriz quadrada 3\times3. Para provar invertibilidade precisamos mostrar que \det(A)\neq 0. Para encontrar A^{-1} podemos usar eliminação de Gauss-Jordan (augmentando com a identidade) e reduzir até obter a identidade à esquerda; a direita ficará então A^{-1}.]
Passo 2
Vamos calcular o determinante de A. Um método direto para 3\times3 é a regra de Sarrus: para
Somando os primeiros três termos e subtraindo os outros três:
\det(A)=(1+3-2)-(3-1+2)=2-4=-2.
Como \det(A)=-2\neq 0, concluímos que A é invertível. (Breve explicação teórica: para matrizes quadradas uma condição necessária e suficiente para existir inversa é o determinante ser diferente de zero.)
Passo 5
Agora determinamos A^{-1} por eliminação de Gauss-Jordan. Montamos a matriz aumentada [A\mid I]:
A ideia é aplicar operações elementares nas linhas para transformar a parte esquerda em I_3; as mesmas operações transformarão a parte direita em A^{-1}.]
Passo 6
Eliminamos abaixo do pivô a_{11}=1. Fazemos R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-3R_1.
Cálculo de R_2-2R_1:
Normalizamos a terceira linha dividindo por 2: R_3\leftarrow \tfrac{1}{2}R_3. Assim
R_3=[0,0,1\mid \tfrac{5}{2},-2,\tfrac{1}{2}].
Passo 9
Eliminamos os elementos na coluna 3 acima do novo pivô em R_3. Em R_2 o elemento é 1, então fazemos R_2\leftarrow R_2-R_3. Cálculo das componentes aumentadas: