Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e determinar sua inversa: (2.5 pontos)
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & -1 & 1 \end{array}\right] ;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que a matriz A é invertível e determinar a sua inversa. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: temos uma matriz quadrada 3\times3. Para provar invertibilidade precisamos mostrar que \det(A)\neq 0. Para encontrar A^{-1} podemos usar eliminação de Gauss-Jordan (augmentando com a identidade) e reduzir até obter a identidade à esquerda; a direita ficará então A^{-1}.]

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A. Um método direto para 3\times3 é a regra de Sarrus: para
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
a regra de Sarrus diz que
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
Aqui a_{ij} são as entradas: por exemplo a_{11}=1, a_{23}=1, etc.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso A:
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 3 + 1\cdot 2\cdot(-1) - \big(1\cdot 1\cdot 3 + 1\cdot 1\cdot(-1) + 1\cdot 2\cdot 1\big).
Agora calculamos termo a termo:
1\cdot 1\cdot 1 = 1,\qquad 1\cdot 1\cdot 3=3,\qquad 1\cdot 2\cdot(-1)=-2,
1\cdot 1\cdot 3=3,\qquad 1\cdot 1\cdot(-1)=-1,\qquad 1\cdot 2\cdot 1=2.

Passo 4

Somando os primeiros três termos e subtraindo os outros três:
\det(A)=(1+3-2)-(3-1+2)=2-4=-2.
Como \det(A)=-2\neq 0, concluímos que A é invertível. (Breve explicação teórica: para matrizes quadradas uma condição necessária e suficiente para existir inversa é o determinante ser diferente de zero.)

Passo 5

Agora determinamos A^{-1} por eliminação de Gauss-Jordan. Montamos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
A ideia é aplicar operações elementares nas linhas para transformar a parte esquerda em I_3; as mesmas operações transformarão a parte direita em A^{-1}.]

Passo 6

Eliminamos abaixo do pivô a_{11}=1. Fazemos R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-3R_1.
Cálculo de R_2-2R_1:
[2,1,1\mid 0,1,0]-2[1,1,1\mid 1,0,0]=[0,-1,-1\mid -2,1,0].
Cálculo de R_3-3R_1:
[3,-1,1\mid 0,0,1]-3[1,1,1\mid 1,0,0]=[0,-4,-2\mid -3,0,1].
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -2 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 multiplicando R_2 por -1: R_2\leftarrow -R_2. Assim
R_2=[0,1,1\mid 2,-1,0].
Agora eliminamos o elemento a_{32}=-4 usando R_3\leftarrow R_3+4R_2 (pois -4+4\cdot 1=0). Calculamos:
R_3=[0,-4,-2\mid -3,0,1]+4[0,1,1\mid 2,-1,0]=[0,0,2\mid -3+8,\;0-4,\;1+0],
portanto
R_3=[0,0,2\mid 5,-4,1].
Também zeramos o elemento acima do pivô na coluna 2: fazemos R_1\leftarrow R_1-R_2. Calculando:
R_1=[1,1,1\mid 1,0,0]-[0,1,1\mid 2,-1,0]=[1,0,0\mid -1,1,0].
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 5 & -4 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Normalizamos a terceira linha dividindo por 2: R_3\leftarrow \tfrac{1}{2}R_3. Assim
R_3=[0,0,1\mid \tfrac{5}{2},-2,\tfrac{1}{2}].

Passo 9

Eliminamos os elementos na coluna 3 acima do novo pivô em R_3. Em R_2 o elemento é 1, então fazemos R_2\leftarrow R_2-R_3. Cálculo das componentes aumentadas:
[2,-1,0]-\Big[\tfrac{5}{2},-2,\tfrac{1}{2}\Big] =\Big(2-\tfrac{5}{2},\;-1-(-2),\;0-\tfrac{1}{2}\Big) =\Big(-\tfrac{1}{2},\;1,\;-\tfrac{1}{2}\Big).
Em R_1 o elemento da coluna 3 já é 0, então não precisamos alterar R_1.
Agora a matriz aumentada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 10

Extraímos a parte direita da matriz aumentada: ela é exatamente A^{-1}. Ou seja,
A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{5}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Uma verificação rápida (multiplicando A por essa matriz) confirma que o produto é I_3, como deveria ser.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{5}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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