1^{a} Questão: (20 pontos) Calcule
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{x^{2}} \, d x \, d y.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,e^{x^{2}}.
  • A integral está escrita como iterada com as variáveis na ordem x depois y.
  • Os limites são: y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de y até 1.
  • A região de integração no plano (x,y) é portanto formada pelos pontos que satisfazem 0\le y\le 1 e y\le x\le 1.

Passo 2

Entendimento geométrico da região de integração (isso ajuda a trocar a ordem).
A condição dada é 0\le y\le 1 e y\le x\le 1. Vou descrever a mesma região trocando a ordem das variáveis:
  • A desigualdade y\le x é equivalente a y estar entre 0 e x quando sei o valor de x.
  • Observando os extremos: x mínimo na região é 0 e máximo é 1.
    Portanto, a mesma região pode ser descrita como
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le x.
Comentário intuitivo: é o triângulo no quadrado unitário acima da diagonal y=0 até y=x (ou seja, os pontos com 0\le y\le x\le1).

Passo 3

Por que posso trocar a ordem de integração?
  • A função \,e^{x^{2}}\, é contínua em todo o retângulo [0,1]\times[0,1] e, em particular, é não-negativa e integrável na região triangular. Pelo teorema de Fubini/Tonelli, podemos trocar a ordem das integrais iteradas sem problemas.
  • Trocar a ordem é útil aqui porque integrar e^{x^{2}} em x diretamente não dá uma primitiva elementar conhecida, enquanto integrar em y é trivial (porque e^{x^{2}} é independente de y).

Passo 4

Reescrevendo a integral com a nova ordem dy interno e dx externo:
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{x^{2}} \, d x \, d y = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} e^{x^{2}} \, d y \, d x.
Agora faço a integral interna em y. Como e^{x^{2}} é constante em relação a y, a integral interna é
\int_{0}^{x} e^{x^{2}} \, d y = e^{x^{2}} \cdot \bigl[y\bigr]_{0}^{x} = e^{x^{2}}\cdot x.
Logo a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{0}^{1} x\, e^{x^{2}} \, d x.

Passo 5

Como calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\, e^{x^{2}} \, d x? Apresento a técnica de substituição (uma receita padrão).
  • Regra / ideia: quando vemos um produto x\,e^{x^{2}}, a parte x\,d x sugere a substituição u=x^{2} porque du=2x\,d x.
  • Faça a substituição:
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,d x \quad\Rightarrow\quad x\,d x = \frac{1}{2}\,du.
  • Mudar os limites: quando x=0, u=0^{2}=0. Quando x=1, u=1^{2}=1.

Passo 6

Aplicando a substituição na integral:
\int_{0}^{1} x\, e^{x^{2}} \, d x = \int_{u=0}^{u=1} e^{u} \cdot \frac{1}{2}\, d u = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\, d u.
Agora a integral de e^{u} é direta: uma primitiva de e^{u} é e^{u}. Então
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\, d u = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{e-1}{2}

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