Questão: (20 pontos) Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A função integranda é
- A integral está escrita como iterada com as variáveis na ordem
depois . - Os limites são:
varia de a e, para cada , varia de até . - A região de integração no plano
é portanto formada pelos pontos que satisfazem e .
Passo 2
Entendimento geométrico da região de integração (isso ajuda a trocar a ordem).
A condição dada é e
. Vou descrever a mesma região trocando a ordem das variáveis:
A condição dada é
- A desigualdade
é equivalente a estar entre e quando sei o valor de . - Observando os extremos:
mínimo na região é e máximo é .
Portanto, a mesma região pode ser descrita como
Comentário intuitivo: é o triângulo no quadrado unitário acima da diagonal
até
(ou seja, os pontos com
).
Passo 3
Por que posso trocar a ordem de integração?
- A função
é contínua em todo o retângulo e, em particular, é não-negativa e integrável na região triangular. Pelo teorema de Fubini/Tonelli, podemos trocar a ordem das integrais iteradas sem problemas. - Trocar a ordem é útil aqui porque integrar
em diretamente não dá uma primitiva elementar conhecida, enquanto integrar em é trivial (porque é independente de ).
Passo 4
Reescrevendo a integral com a nova ordem
interno e
externo:
Agora faço a integral interna em
. Como
é constante em relação a
, a integral interna é
Logo a integral dupla reduz-se à integral simples
Passo 5
Como calcular
? Apresento a técnica de substituição (uma receita padrão).
- Regra / ideia: quando vemos um produto
, a parte sugere a substituição porque . - Faça a substituição:
- Mudar os limites: quando
, . Quando , .
Passo 6
Aplicando a substituição na integral:
Agora a integral de
é direta: uma primitiva de
é
. Então