Questão 25. Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o comprimento (X) do corpo de ternos de tamanho 2 que são confeccionados pela empresa. Sabendo que X segue uma distribuição normal com média igual a 90,0 \mathrm{~cm} e desvio padrão de 0,9 \mathrm{~cm}, calcule as seguintes probabilidades:
de encontrar ternos com comprimento entre 89 e 91 cm .

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de encontrar ternos com comprimento entre 89 e 91 cm, ou seja:
P(89 \le X \le 91).
Informações dadas:
  • A variável aleatória X (comprimento do corpo do terno) é normalmente distribuída com média \mu = 90{,}0 cm e desvio padrão \sigma = 0{,}9 cm.
  • Queremos a probabilidade entre os pontos 89 e 91.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para problemas com distribuição normal usamos a padronização para transformar X numa variável normal padrão Z (média 0, desvio padrão 1). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (aqui comprimento em cm),
  • \mu é a média da distribuição (aqui 90{,}0),
  • \sigma é o desvio padrão (aqui 0{,}9),
  • Z é a nova variável que segue a normal padrão.
Depois de padronizar os limites 89 e 91 obtemos limites em termos de Z, e então usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi(\cdot). Lembrete importante de simetria da normal padrão: para qualquer a>0,
\Phi(-a)=1-\Phi(a),
e portanto
P(-a\le Z\le a)=2\Phi(a)-1.

Passo 3

Calcular os escores-z (z-scores) dos limites 89 e 91.
Para x=89:
z_1=\frac{89-\mu}{\sigma}=\frac{89-90{,}0}{0{,}9}=\frac{-1}{0{,}9}=-\frac{10}{9}\approx -1{,}111\ldots
Para x=91:
z_2=\frac{91-\mu}{\sigma}=\frac{91-90{,}0}{0{,}9}=\frac{1}{0{,}9}=\frac{10}{9}\approx 1{,}111\ldots
Então
P(89\le X\le 91)=P\!\left(-\tfrac{10}{9}\le Z\le \tfrac{10}{9}\right).

Passo 4

Usar a função de distribuição acumulada \Phi. Pela definição,
P\!\left(-\tfrac{10}{9}\le Z\le \tfrac{10}{9}\right)=\Phi\!\left(\tfrac{10}{9}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{10}{9}\right).
Pela simetria da normal padrão (passo anterior), \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim,
\Phi\!\left(\tfrac{10}{9}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{10}{9}\right)=\Phi\!\left(\tfrac{10}{9}\right)-\big(1-\Phi\!\left(\tfrac{10}{9}\right)\big)=2\Phi\!\left(\tfrac{10}{9}\right)-1.

Passo 5

Encontrar numericamente \Phi\!\left(\tfrac{10}{9}\right)=\Phi(1{,}111\ldots).
Usando uma tabela da normal padrão ou calculadora:
  • tabela normalmente dá \Phi(1{,}11)=0{,}8665 e \Phi(1{,}12)=0{,}8686.
  • Interpolando para 1{,}111\ldots (que é 1{,}11 mais 0{,}0011 de 0{,}01) obtemos aproximadamente
\Phi\!\left(\tfrac{10}{9}\right)\approx 0{,}86673.
Agora calculamos a probabilidade:
P(89\le X\le 91)=2\cdot 0{,}86673 - 1 = 0{,}73346\approx 0{,}7335.
Interpretação: isso corresponde a aproximadamente 73{,}35\% dos ternos.

Passo 6

Resumo do procedimento para você levar pra prova:
  • Padronize com Z=(X-\mu)/\sigma.
  • Calcule os z-scores dos limites.
  • Use \Phi e a simetria para transformar em 2\Phi(a)-1 quando os limites são simétricos em torno da média.
  • Consulte tabela ou calculadora para \Phi(a) e calcule o resultado final.

Resposta

P(89\le X\le 91)=0,7335

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