Questão 25. Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o comprimento
do corpo de ternos de tamanho 2 que são confeccionados pela empresa. Sabendo que
segue uma distribuição normal com média igual a
e desvio padrão de
, calcule as seguintes probabilidades:
de encontrar ternos com comprimento entre 89 e 91 cm .
de encontrar ternos com comprimento entre 89 e 91 cm .
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de encontrar ternos com comprimento entre
e
cm, ou seja:
Informações dadas:
- A variável aleatória
(comprimento do corpo do terno) é normalmente distribuída com média cm e desvio padrão cm. - Queremos a probabilidade entre os pontos
e .
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para problemas com distribuição normal usamos a padronização para transformar
numa variável normal padrão
(média
, desvio padrão
). A fórmula de padronização é
onde:
-
é a variável original (aqui comprimento em cm), -
é a média da distribuição (aqui ), -
é o desvio padrão (aqui ), -
é a nova variável que segue a normal padrão.
Depois de padronizar os limites
e
obtemos limites em termos de
, e então usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por
. Lembrete importante de simetria da normal padrão: para qualquer
,
e portanto
Passo 3
Calcular os escores-z (z-scores) dos limites
e
.
Para
:
Para
:
Então
Passo 4
Usar a função de distribuição acumulada
. Pela definição,
Pela simetria da normal padrão (passo anterior),
. Assim,
Passo 5
Encontrar numericamente
.
Usando uma tabela da normal padrão ou calculadora:
- tabela normalmente dá
e . - Interpolando para
(que é mais de ) obtemos aproximadamente
Agora calculamos a probabilidade:
Interpretação: isso corresponde a aproximadamente
dos ternos.
Passo 6
Resumo do procedimento para você levar pra prova:
- Padronize com
. - Calcule os z-scores dos limites.
- Use
e a simetria para transformar em quando os limites são simétricos em torno da média. - Consulte tabela ou calculadora para
e calcule o resultado final.