Questão 25. Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o comprimento
do corpo de ternos de tamanho 2 que são confeccionados pela empresa. Sabendo que
segue uma distribuição normal com média igual a
e desvio padrão de
, calcule as seguintes probabilidades:
de encontrar ternos com comprimento menor que 88 cm .
de encontrar ternos com comprimento menor que 88 cm .
Passo 1
O enunciado pede: calcular a probabilidade de encontrar ternos com comprimento menor que
.
Informações fornecidas: a variável comprimento segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. Logo, os dados relevantes são:
Informações fornecidas: a variável comprimento
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para probabilidades com variáveis normalmente distribuídas, padronizamos para a normal padrão (que tem média zero e desvio padrão 1). Isso transforma o problema em calcular a função de distribuição acumulada da normal padrão, que é tabelada ou calculada por computador. Vou explicar o porquê dessa padronização e como aplicá-la passo a passo.
Passo 3
O que é padronizar e por que funciona (aula curta): se
, definimos a variável padronizada
Aqui
tem distribuição normal padrão, ou seja
. A razão é que subtrair
centraliza a distribuição em zero e dividir por
ajusta a escala para desvio padrão 1. Probabilidades se preservam na transformação no sentido de que, para qualquer
,
onde
. Assim basta achar
, que é a função de distribuição acumulada
da normal padrão.
Passo 4
Aplicando ao problema: calculamos o valor padronizado
correspondente a
:
Fazendo a divisão de forma clara:
, então
Portanto
Passo 5
Interpretando a probabilidade com
: então
Usamos a simetria da normal padrão para facilitar a consulta em tabela:
Logo
Passo 6
Consulta na tabela (ou aproximação manual): tabelas ou calculadoras dão valores de
para
. Valores próximos são
Nosso
fica
acima de
num intervalo de
entre as entradas da tabela, ou seja é
(20%) do caminho entre
e
. Fazemos uma interpolação linear simples:
Então
Passo 7
Interpretação final e arredondamento: a probabilidade de um terno ter comprimento menor que
é aproximadamente
, isto é cerca de
. Isso significa que, em média, cerca de 1 ou 2 ternos a cada 100 produzidos terão comprimento menor que
.