Questão 25. Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o comprimento (X) do corpo de ternos de tamanho 2 que são confeccionados pela empresa. Sabendo que X segue uma distribuição normal com média igual a 90,0 \mathrm{~cm} e desvio padrão de 0,9 \mathrm{~cm}, calcule as seguintes probabilidades:
de encontrar ternos com comprimento menor que 88 cm .

Passo 1

O enunciado pede: calcular a probabilidade de encontrar ternos com comprimento menor que (88\\ \mathrm{cm}).
Informações fornecidas: a variável comprimento X segue uma distribuição normal com média \mu=90{,}0\\ \mathrm{cm} e desvio padrão \sigma=0{,}9\\ \mathrm{cm}. Logo, os dados relevantes são:
\mu=90{,}0,\qquad \sigma=0{,}9,\qquad\text{queremos }P(X<88).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para probabilidades com variáveis normalmente distribuídas, padronizamos para a normal padrão (que tem média zero e desvio padrão 1). Isso transforma o problema em calcular a função de distribuição acumulada da normal padrão, que é tabelada ou calculada por computador. Vou explicar o porquê dessa padronização e como aplicá-la passo a passo.

Passo 3

O que é padronizar e por que funciona (aula curta): se X\sim N(\mu,\sigma^2), definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição normal padrão, ou seja Z\sim N(0,1). A razão é que subtrair \mu centraliza a distribuição em zero e dividir por \sigma ajusta a escala para desvio padrão 1. Probabilidades se preservam na transformação no sentido de que, para qualquer a,
P(X<a)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=P\bigl(Z<z_a\bigr),
onde z_a=(a-\mu)/\sigma. Assim basta achar P(Z<z_a), que é a função de distribuição acumulada \Phi(z_a) da normal padrão.

Passo 4

Aplicando ao problema: calculamos o valor padronizado z correspondente a a=88:
z=\frac{88-90{,}0}{0{,}9}=\frac{-2{,}0}{0{,}9}.
Fazendo a divisão de forma clara: 0{,}9=\dfrac{9}{10}, então
\frac{-2}{0{,}9}=\frac{-2}{9/10}=-2\cdot\frac{10}{9}=-\frac{20}{9}\approx-2{,}222\ldots
Portanto z\approx-2{,}222.

Passo 5

Interpretando a probabilidade com Z: então
P(X<88)=P(Z<z)=P\bigl(Z<-2{,}222\bigr)=\Phi(-2{,}222).
Usamos a simetria da normal padrão para facilitar a consulta em tabela:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Logo
\Phi(-2{,}222)=1-\Phi(2{,}222).

Passo 6

Consulta na tabela (ou aproximação manual): tabelas ou calculadoras dão valores de \Phi para z\ge0. Valores próximos são
\Phi(2{,}22)=0{,}9868,\qquad \Phi(2{,}23)=0{,}9871.
Nosso z=2{,}222 fica 0{,}002 acima de 2{,}22 num intervalo de 0{,}01 entre as entradas da tabela, ou seja é 0{,}2 (20%) do caminho entre 2{,}22 e 2{,}23. Fazemos uma interpolação linear simples:
\Phi(2{,}222)\approx 0{,}9868 + 0{,}2\cdot(0{,}9871-0{,}9868) =0{,}9868 + 0{,}2\cdot 0{,}0003 =0{,}9868 + 0{,}00006 =0{,}98686.
Então
\Phi(-2{,}222)=1-0{,}98686=0{,}01314\\ \text{(aprox.)}.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento: a probabilidade de um terno ter comprimento menor que (88\\ \mathrm{cm}) é aproximadamente 0{,}0131, isto é cerca de 1{,}31\%. Isso significa que, em média, cerca de 1 ou 2 ternos a cada 100 produzidos terão comprimento menor que (88\\ \mathrm{cm}).

Resposta

\,P(X<88)\approx0{,}01314 (aprox.)
\approx1{,}31\%

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