Questão 25. Seja
a_{n}=\frac{\sin ^{2} n}{n}
Usando o Teorema do Confronto, verifique se a sequência
\left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}
é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\frac{\sin^{2} n}{n},
para n\in\mathbb{N}, e pede para verificar, usando o Teorema do Confronto, se a sequência \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\quad a_{n}=\frac{\sin^{2} n}{n};
\text{(ii)}\quad n\text{ é um inteiro positivo que tende a }+\infty.é
A pergunta concreta: a sequência \{a_{n}\} converge? Se sim, qual é o seu limite?

Passo 2

Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze theorem) para sequências — explicação didática:
Sejam três sequências \{x_{n}\}, \{a_{n}\} e \{y_{n}\} tais que, para todo n suficientemente grande,
x_{n}\le a_{n}\le y_{n}.
Se existir um número real L tal que
\lim_{n\to\infty} x_{n}=\lim_{n\to\infty} y_{n}=L,
então também
\lim_{n\to\infty} a_{n}=L.
O que isto quer dizer na prática: se conseguimos “apertar” (\emph{confrontar}) uma sequência entre duas outras que tendem ao mesmo limite, a sequência do meio é obrigada a ter o mesmo limite. Aqui L é o número para o qual as duas sequências extremas convergem.

Passo 3

Construção das desigualdades que vamos usar — passo a passo e com explicação de cada passo:
  1. Para qualquer número real t vale
-1\le \sin t \le 1,
porque a função \sin tem valores entre -1 e 1.
2. Elevando ao quadrado (nota: elevar ao quadrado preserva a desigualdade quando os dois lados são não negativos; aqui usamos que -1\le\sin t\le1 implica 0\le\sin^{2}t\le1), obtemos
0\le \sin^{2}t \le 1.
  1. Aplicando isso ao caso t=n (cada n inteiro é também um real), temos para todo n\in\mathbb{N}
0\le \sin^{2}n \le 1.
  1. Agora dividimos a desigualdade por n. Importante: divisão preserva desigualdades desde que dividamos por um número positivo; como n\ge 1, podemos dividir sem trocar os sinais:
0\le \frac{\sin^{2}n}{n} \le \frac{1}{n}.
Ou seja, para todo n,
0 \le a_{n} \le \frac{1}{n}.

Passo 4

Análise dos limites das sequências extremas que aparecem no confronto:
Definimos as sequências
x_{n}=0\quad\text{e}\quad y_{n}=\frac{1}{n}.
  • A sequência x_{n}=0 é constante, logo
\lim_{n\to\infty} x_{n}=0.
  • A sequência y_{n}=\dfrac{1}{n} tende a 0 quando n\to\infty. Prova rápida (estilo \varepsilon- N, para fixar a ideia): seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, para todo n\ge N,
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty} x_{n}=\lim_{n\to\infty} y_{n}=0.

Passo 5

Aplicação do Teorema do Confronto:
Temos, para todo n,
x_{n}=0 \le a_{n}=\frac{\sin^{2}n}{n}\le \frac{1}{n}=y_{n},
e já vimos que \lim_{n\to\infty}x_{n}=\lim_{n\to\infty}y_{n}=0. Pelo Teorema do Confronto, a sequência do meio tem o mesmo limite:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Intuição final: o numerador \sin^{2}n está sempre entre 0 e 1, então conforme n cresce o fator 1/n força toda a fração a cair para 0.

Passo 6

Comentário didático extra (útil para a prova):
  • Estratégia geral que sempre funciona: se você tem uma sequência do tipo \dfrac{b_{n}}{n} e souber que \{b_{n}\} é limitada (isto é, existe M>0 com |b_{n}|\le M para todo n), então \dfrac{b_{n}}{n}\to 0. No nosso caso b_{n}=\sin^{2}n é limitada por 1.
  • Exemplo similar: \dfrac{\sin n}{n} também converge para 0 pelo mesmo raciocínio: |\sin n|\le1 implica -\dfrac{1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n}\le \dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}\to0.

Resposta

A sequência converge para 0.

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