Questão 25. Seja
Usando o Teorema do Confronto, verifique se a sequência
é convergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
para
, e pede para verificar, usando o Teorema do Confronto, se a sequência
é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta concreta: a sequência
converge? Se sim, qual é o seu limite?
Passo 2
Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze theorem) para sequências — explicação didática:
Sejam três sequências ,
e
tais que, para todo
suficientemente grande,
Sejam três sequências
Se existir um número real
tal que
então também
O que isto quer dizer na prática: se conseguimos “apertar” (\emph{confrontar}) uma sequência entre duas outras que tendem ao mesmo limite, a sequência do meio é obrigada a ter o mesmo limite. Aqui
é o número para o qual as duas sequências extremas convergem.
Passo 3
Construção das desigualdades que vamos usar — passo a passo e com explicação de cada passo:
- Para qualquer número real
vale
porque a função
tem valores entre
e
.
2. Elevando ao quadrado (nota: elevar ao quadrado preserva a desigualdade quando os dois lados são não negativos; aqui usamos que implica
), obtemos
2. Elevando ao quadrado (nota: elevar ao quadrado preserva a desigualdade quando os dois lados são não negativos; aqui usamos que
- Aplicando isso ao caso
(cada inteiro é também um real), temos para todo
- Agora dividimos a desigualdade por
. Importante: divisão preserva desigualdades desde que dividamos por um número positivo; como , podemos dividir sem trocar os sinais:
Ou seja, para todo
,
Passo 4
Análise dos limites das sequências extremas que aparecem no confronto:
Definimos as sequências
Definimos as sequências
- A sequência
é constante, logo
- A sequência
tende a quando . Prova rápida (estilo - , para fixar a ideia): seja . Escolha tal que . Então, para todo ,
Isso mostra que
.
Portanto
Passo 5
Aplicação do Teorema do Confronto:
Temos, para todo ,
Temos, para todo
e já vimos que
. Pelo Teorema do Confronto, a sequência do meio tem o mesmo limite:
Intuição final: o numerador
está sempre entre
e
, então conforme
cresce o fator
força toda a fração a cair para
.
Passo 6
Comentário didático extra (útil para a prova):
- Estratégia geral que sempre funciona: se você tem uma sequência do tipo
e souber que é limitada (isto é, existe com para todo ), então . No nosso caso é limitada por . - Exemplo similar:
também converge para pelo mesmo raciocínio: implica e .
Resposta
A sequência converge para
.