Questão 26. Seja r um número real e considere S_{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-1}, n \in \mathbb{N}. Prove que
S_{n}-r S_{n}=1-r^{n}
Se |r|<1, use essa relação e deduza que
\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\frac{1}{1-r}

Passo 1

O enunciado define r como um número real e, para cada n\in\mathbb{N}, define a soma parcial
S_{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-1}.
Pede duas coisas:
  1. Provar a identidade
S_{n}-r S_{n}=1-r^{n}.
  1. Usando essa relação, mostrar que se |r|<1 então
\lim_{n\to\infty} S_{n}=\frac{1}{1-r}.
Informações relevantes dadas: a definição de S_{n} (soma dos primeiros n termos da sequência geométrica de razão r) e a condição |r|<1 para a segunda parte. Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo explicitamente S_{n} e multiplicando-a por r. Por definição,
S_{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-1}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_{n}=r+r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{n}.
Aqui eu apenas multipliquei cada termo da soma por r; por exemplo, 1\cdot r=r, r\cdot r=r^{2}, e o último termo r^{n-1}\cdot r=r^{n}.

Passo 3

Agora subtraímos a segunda igualdade da primeira: calculamos S_{n}-rS_{n}. Subtraindo termo a termo as duas somas, temos
S_{n}-rS_{n}=(1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-1})-(r+r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{n}).
Observe o que acontece ao subtrair: quase todos os termos se cancelam porque cada r^{k} aparece tanto em S_{n} quanto em rS_{n}, exceto o 1 que só está em S_{n} e o r^{n} que só está em rS_{n}.

Passo 4

Fazendo esses cancelamentos explicitamente, sobra
S_{n}-rS_{n}=1-(r^{n}).
Ou seja,
S_{n}-rS_{n}=1-r^{n},
que é exatamente a identidade que queríamos provar. Esse tipo de cancelamento é conhecido como “telescópico” — ao alinhar a soma original e a soma multiplicada por r, os termos intermediários desaparecem.

Passo 5

A partir de S_{n}-rS_{n}=1-r^{n} podemos fatorar o lado esquerdo:
(1-r)S_{n}=1-r^{n}.
Isto vale sempre que possamos dividir por 1-r, ou seja, quando r\neq 1. Assim, para r\neq 1 temos a fórmula fechada da soma dos n primeiros termos da progressão geométrica:
S_{n}=\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Essa é uma fórmula útil porque expressa a soma finite em termos de r e n.

Passo 6

Agora vamos deduzir o limite quando |r|<1. Se |r|<1, então a sequência (r^{n})_{n} tende a 0 quando n\to\infty. Vou justificar isso de maneira elementar e direta: seja q=|r|. Então 0\le q<1 e a sequência q^{n} é não negativa, monótona decrescente (porque multiplicar por q<1 diminui o valor) e está limitada inferiormente por 0. Logo converge para algum limite L\ge 0. Tomando limites na relação q^{n+1}=q\cdot q^{n} obtemos L = q\cdot L. Como q\neq 1, segue (1-q)L=0 e portanto L=0. Assim q^{n}\to 0, e como |r^{n}|=|r|^{n}=q^{n}\to 0, temos r^{n}\to 0.

Passo 7

Com r^{n}\to 0 e a fórmula da Passo 5, para r\neq 1 obtemos
\lim_{n\to\infty} S_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-r^{n}}{1-r}=\frac{1-0}{1-r}=\frac{1}{1-r}.
Isto prova a afirmação pedida quando |r|<1.

Passo 8

Um comentário final (útil na prova): se r=1 então S_{n}=1+1+\cdots+1=n e claramente \lim_{n\to\infty}S_{n}=\infty, ou seja, não existe limite finito. Mas a dedução acima cobre o caso exigido pelo enunciado |r|<1.

Resposta

S_{n}-rS_{n}=1-r^{n}
\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{n}=\frac{1}{1-r}

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