Questão 26. Seja
um número real e considere
. Prove que
Se
, use essa relação e deduza que
Passo 1
O enunciado define
como um número real e, para cada
, define a soma parcial
Pede duas coisas:
- Provar a identidade
- Usando essa relação, mostrar que se
então
Informações relevantes dadas: a definição de
(soma dos primeiros
termos da sequência geométrica de razão
) e a condição
para a segunda parte. Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Vamos começar escrevendo explicitamente
e multiplicando-a por
. Por definição,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Aqui eu apenas multipliquei cada termo da soma por
; por exemplo,
,
, e o último termo
.
Passo 3
Agora subtraímos a segunda igualdade da primeira: calculamos
. Subtraindo termo a termo as duas somas, temos
Observe o que acontece ao subtrair: quase todos os termos se cancelam porque cada
aparece tanto em
quanto em
, exceto o
que só está em
e o
que só está em
.
Passo 4
Fazendo esses cancelamentos explicitamente, sobra
Ou seja,
que é exatamente a identidade que queríamos provar. Esse tipo de cancelamento é conhecido como “telescópico” — ao alinhar a soma original e a soma multiplicada por
, os termos intermediários desaparecem.
Passo 5
A partir de
podemos fatorar o lado esquerdo:
Isto vale sempre que possamos dividir por
, ou seja, quando
. Assim, para
temos a fórmula fechada da soma dos
primeiros termos da progressão geométrica:
Essa é uma fórmula útil porque expressa a soma finite em termos de
e
.
Passo 6
Agora vamos deduzir o limite quando
. Se
, então a sequência
tende a
quando
. Vou justificar isso de maneira elementar e direta: seja
. Então
e a sequência
é não negativa, monótona decrescente (porque multiplicar por
diminui o valor) e está limitada inferiormente por
. Logo converge para algum limite
. Tomando limites na relação
obtemos
. Como
, segue
e portanto
. Assim
, e como
, temos
.
Passo 7
Com
e a fórmula da Passo 5, para
obtemos
Isto prova a afirmação pedida quando
.
Passo 8
Um comentário final (útil na prova): se
então
e claramente
, ou seja, não existe limite finito. Mas a dedução acima cobre o caso exigido pelo enunciado
.