Encontre o problema de valor inicial e esboce o gráfico da solução.
y^{\prime \prime}-y=0, \quad y(-2)=1, y^{\prime}(-2)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e as condições iniciais:
y''-y=0,
com
y(-2)=1,\quad y'(-2)=-1.
O que se pede: resolver (ou seja, encontrar a solução do problema de valor inicial) e esboçar o gráfico da solução. Listei acima todas as informações relevantes: a equação diferencial e as duas condições em x=-2.

Passo 2

Vamos escolher um método padrão para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: procuramos soluções da forma exponencial. A ideia é substituir y=e^{rx} na equação homogênea para obter a chamada equação característica. Isso funciona porque derivar e^{rx} só multiplica por r, então a equação diferencial vira uma equação algébrica em r.

Passo 3

Faço a substituição y=e^{rx}. Então y''-y=0 vira
r^2 e^{rx}- e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica
r^2-1=0.
Resolvo essa equação algébrica: r^2-1=(r-1)(r+1)=0, logo
r=1\quad\text{ou}\quad r=-1.

Passo 4

Como as raízes r=1 e r=-1 são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Portanto
y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Para aplicar as condições, preciso da derivada y'. Derivo termo a termo:
y'(x)=C_1 e^{x}-C_2 e^{-x}.
Agora avalio y e y' em x=-2 e uso as condições dadas:
y(-2)=C_1 e^{-2}+C_2 e^{2}=1,
y'(-2)=C_1 e^{-2}-C_2 e^{2}=-1.
Temos, portanto, o sistema linear em C_1 e C_2:
\begin{cases} C_1 e^{-2}+C_2 e^{2}=1,\\[4pt] C_1 e^{-2}-C_2 e^{2}=-1. \end{cases}]

Passo 6

Vou resolver o sistema. Uma técnica simples é somar e subtrair as equações para isolar C_1 e C_2.
Somando as duas equações:
(C_1 e^{-2}+C_2 e^{2})+(C_1 e^{-2}-C_2 e^{2})=1+(-1),
ou seja
2C_1 e^{-2}=0.
Daí
C_1=0.
Agora uso C_1=0 em uma das equações (por exemplo na primeira):
0\cdot e^{-2}+C_2 e^{2}=1,
logo
C_2=\;e^{-2}.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtenho a solução particular do problema de valor inicial:
y(x)=0\cdot e^{x}+e^{-2}e^{-x}=e^{-2}e^{-x}=e^{-(x+2)}.
Vou checar rapidamente: em x=-2, y(-2)=e^{0}=1 e y'=-e^{-(x+2)} y'(-2)=-1. Ambas as condições são satisfeitas, então a solução está correta.

Passo 8

Agora estudamos a solução para esboçar o gráfico. A função é
y(x)=e^{-(x+2)}.
Propriedades úteis para o esboço:
  • Domínio: todos os x\in\mathbb{R}.
  • Sinal: y(x)>0 para todo x (exponencial positiva).
  • Assíntota horizontal: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}y(x)=0, então y=0 é assíntota horizontal à direita.
  • Comportamento à esquerda: \displaystyle\lim_{x\to-\infty}y(x)=+\infty.
  • Monotonicidade: calculei y'(x)=-e^{-(x+2)}=-y(x). Como y(x)>0, segue que y'(x)<0 para todo x, ou seja, a função é estritamente decrescente.
  • Concavidade: y''(x)=y(x)>0, então a curva é côncava para cima em todo o domínio.

Passo 9

Pontos e tangente importantes para ajudar no esboço:
  • Ponto dado: (-2,1) (isto vem das condições iniciais).
  • Alguns pontos numéricos para orientar o desenho: y(-3)=e^{1}\approx2{,}718, y(0)=e^{-2}\approx0{,}1353, y(1)=e^{-3}\approx0{,}0498.
  • A reta tangente em x=-2: como y'(-2)=-1, a equação da reta tangente é
y-1=-1(x+2)\quad\Rightarrow\quad y=-x-1.
Essa reta toca a curva em (-2,1) com inclinação -1.
Para esboçar: trace os eixos x e y, marque o ponto (-2,1), desenhe uma curva decrescente, sempre positiva, que sobe rapidamente para a esquerda (vai ao infinito quando x\to-\infty), aproxima-se de y=0 quando x\to+\infty, é côncava para cima e passa pela tangente indicada.

Resposta

y(x)=e^{-(x+2)}
Gráfico: curva exponencial positiva, decrescente e côncava para cima, passa por (-2,1), tem assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty e reta tangente em (-2,1) dada por y=-x-1.

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