Encontre o problema de valor inicial e esboce o gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e as condições iniciais:
com
O que se pede: resolver (ou seja, encontrar a solução do problema de valor inicial) e esboçar o gráfico da solução. Listei acima todas as informações relevantes: a equação diferencial e as duas condições em
.
Passo 2
Vamos escolher um método padrão para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: procuramos soluções da forma exponencial. A ideia é substituir
na equação homogênea para obter a chamada equação característica. Isso funciona porque derivar
só multiplica por
, então a equação diferencial vira uma equação algébrica em
.
Passo 3
Faço a substituição
. Então
vira
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Resolvo essa equação algébrica:
, logo
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Portanto
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Para aplicar as condições, preciso da derivada
. Derivo termo a termo:
Agora avalio
e
em
e uso as condições dadas:
Temos, portanto, o sistema linear em
e
:
Passo 6
Vou resolver o sistema. Uma técnica simples é somar e subtrair as equações para isolar
e
.
Somando as duas equações:
ou seja
Daí
Agora uso
em uma das equações (por exemplo na primeira):
logo
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtenho a solução particular do problema de valor inicial:
Vou checar rapidamente: em
,
e
dá
. Ambas as condições são satisfeitas, então a solução está correta.
Passo 8
Agora estudamos a solução para esboçar o gráfico. A função é
Propriedades úteis para o esboço:
- Domínio: todos os
. - Sinal:
para todo (exponencial positiva). - Assíntota horizontal:
, então é assíntota horizontal à direita. - Comportamento à esquerda:
. - Monotonicidade: calculei
. Como , segue que para todo , ou seja, a função é estritamente decrescente. - Concavidade:
, então a curva é côncava para cima em todo o domínio.
Passo 9
Pontos e tangente importantes para ajudar no esboço:
- Ponto dado:
(isto vem das condições iniciais). - Alguns pontos numéricos para orientar o desenho:
, , . - A reta tangente em
: como , a equação da reta tangente é
Essa reta toca a curva em
com inclinação
.
Para esboçar: trace os eixos
e
, marque o ponto
, desenhe uma curva decrescente, sempre positiva, que sobe rapidamente para a esquerda (vai ao infinito quando
), aproxima-se de
quando
, é côncava para cima e passa pela tangente indicada.
Resposta
Gráfico: curva exponencial positiva, decrescente e côncava para cima, passa por