Encontre o problema de valor inicial e esboce o gráfico da solução.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+y=0, y(0)=4, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial e esboçar o gráfico da solução. As informações dadas são:
y'' - 5y' + y = 0,
com condições iniciais
y(0)=4,\qquad y'(0)=0.
Perguntas claras: (1) encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais; (2) esboçar (descrever) o gráfico dessa solução.

Passo 2

Método para resolver: para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes a técnica padrão é procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}. Substituindo na equação, o fator e^{rx} (que nunca é zero) pode ser cancelado, e sobram potências de r que formam a chamada equação característica. Façamos isso:
\text{Se } y=e^{rx},\quad y'=r e^{rx},\quad y''=r^2 e^{rx}.
Substituindo em y''-5y'+y=0 e cancelando e^{rx} obtemos a equação característica
r^2-5r+1=0.
Isto é um polinômio quadrático em r; para resolvê-lo usamos a fórmula quadrática:
r=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot1}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{25-4}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}.
Definimos
r_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},\qquad r_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}.

Passo 3

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da EDO homogênea é
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais. Aqui C_1 e C_2 representam as amplitudes dos modos exponenciais e^{r_1 x} e e^{r_2 x}.

Passo 4

Aplique as condições iniciais para achar C_1 e C_2. Primeiro escrevemos y(0) e y'(0). Pela solução geral,
y(0)=C_1 + C_2.
Derivando a solução,
y'(x)=C_1 r_1 e^{r_1 x}+C_2 r_2 e^{r_2 x},
logo
y'(0)=C_1 r_1 + C_2 r_2.
Usando as condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=0 obtemos o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = 4,\\[4pt] C_1 r_1 + C_2 r_2 = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolva o sistema. Da primeira equação C_2=4-C_1. Substituindo na segunda:
C_1 r_1 + (4-C_1) r_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1(r_1-r_2)+4r_2=0.
Logo
C_1 = -\frac{4r_2}{r_1-r_2}.
Observe que r_1-r_2=\sqrt{21} (porque r_1=\tfrac{5+\sqrt{21}}{2} e r_2=\tfrac{5-\sqrt{21}}{2}). Substituindo r_2=\tfrac{5-\sqrt{21}}{2} temos
C_1 = -\frac{4\cdot\frac{5-\sqrt{21}}{2}}{\sqrt{21}} = -\frac{2(5-\sqrt{21})}{\sqrt{21}} = \frac{-10+2\sqrt{21}}{\sqrt{21}}.
Simplificando,
C_1 = 2 - \frac{10}{\sqrt{21}}.
Em seguida
C_2=4-C_1=4-\left(2-\frac{10}{\sqrt{21}}\right)=2+\frac{10}{\sqrt{21}}.

Passo 6

Valores aproximados (para intuição): \sqrt{21}\approx 4,5826, então
r_1\approx 4,7913,\qquad r_2\approx 0,2087,
C_1\approx -0,1823,\qquad C_2\approx 4,1823.

Passo 7

Escrevemos a solução explícita (forma exata):
y(x)=\left(2-\frac{10}{\sqrt{21}}\right)e^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}\,x}+\left(2+\frac{10}{\sqrt{21}}\right)e^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}\,x}.
Interpretação qualitativa (esboço do gráfico):
  • Em x=0 tem-se y(0)=4 e y'(0)=0. Portanto a reta tangente é horizontal em x=0.
  • A segunda derivada pela equação é y''(0)=5y'(0)-y(0)=-4, negativa, então x=0 é um ponto de máximo local (concavidade para baixo).
  • Para x\to -\infty ambos os termos exponenciais vão a 0, então y(x)\to 0^+.
  • Para x\to +\infty o termo com r_1 domina porque r_1>r_2; como C_1<0 esse termo conduz a y(x)\to -\infty. Ou seja, após o máximo em x=0 a solução decresce, atravessa o eixo x em algum ponto positivo e diverge negativamente para -\infty.
  • Resumo do esboço: começa muito próximo de 0 para x\ll0, sobe até o máximo y(0)=4 em x=0 (tangente horizontal), depois decresce, cruza o eixo x e tende a -\infty quando x\to+\infty.

Resposta

y(x)=\left(2-\frac{10}{\sqrt{21}}\right)e^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}\,x}+\left(2+\frac{10}{\sqrt{21}}\right)e^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}\,x}
Esboço: y(x)\to0^+ quando x\to-\infty; tem máximo local y(0)=4 com y'(0)=0 e y''(0)=-4; para x\to+\infty a solução decresce e y(x)\to -\infty.

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