Encontre o problema de valor inicial e esboce o gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial e esboçar o gráfico da solução. As informações dadas são:
com condições iniciais
Perguntas claras: (1) encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais; (2) esboçar (descrever) o gráfico dessa solução.
Passo 2
Método para resolver: para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes a técnica padrão é procurar soluções da forma
. Substituindo na equação, o fator
(que nunca é zero) pode ser cancelado, e sobram potências de
que formam a chamada equação característica. Façamos isso:
Substituindo em
e cancelando
obtemos a equação característica
Isto é um polinômio quadrático em
; para resolvê-lo usamos a fórmula quadrática:
Definimos
Passo 3
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da EDO homogênea é
onde
e
são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais. Aqui
e
representam as amplitudes dos modos exponenciais
e
.
Passo 4
Aplique as condições iniciais para achar
e
. Primeiro escrevemos
e
. Pela solução geral,
Derivando a solução,
logo
Usando as condições iniciais
e
obtemos o sistema linear
Passo 5
Resolva o sistema. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
Observe que
(porque
e
). Substituindo
temos
Simplificando,
Em seguida
Passo 6
Valores aproximados (para intuição):
, então
Passo 7
Escrevemos a solução explícita (forma exata):
Interpretação qualitativa (esboço do gráfico):
- Em
tem-se e . Portanto a reta tangente é horizontal em . - A segunda derivada pela equação é
, negativa, então é um ponto de máximo local (concavidade para baixo). - Para
ambos os termos exponenciais vão a , então . - Para
o termo com domina porque ; como esse termo conduz a . Ou seja, após o máximo em a solução decresce, atravessa o eixo em algum ponto positivo e diverge negativamente para . - Resumo do esboço: começa muito próximo de
para , sobe até o máximo em (tangente horizontal), depois decresce, cruza o eixo e tende a quando .
Resposta
Esboço:
quando
; tem máximo local
com
e
; para
a solução decresce e
.