Questão 26 Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo:
C=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o posto (rank) e a nulidade (nullity) da matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ -1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Conteúdo: usar eliminação de Gauss para encontrar o número de pivôs (posto) e aplicar o teorema do posto-nulidade
\text{nulidade}\text{(C)} = n - \text{posto}\text{(C)},
sendo n=4 o número de colunas de C.

Passo 2

Eliminamos abaixo do pivô em \text{col}_1 usando R_2\leftarrow R_2+R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-3R_1. Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 3 & 2 & 3\\\\ 0 & -2 & 0 & -2\\\\ 0 & -5 & -4 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Tornamos pivô em \text{col}_2: dividimos R_2 por 3 e depois eliminamos em baixo com R_3\leftarrow R_3+2R_2 e R_4\leftarrow R_4+5R_2. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & 1\\\\ 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & 0\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{2}{3} & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para o pivô em \text{col}_3, dividimos R_3 por \tfrac{4}{3} e então eliminamos em R_4 com R_4\leftarrow R_4+\tfrac{2}{3}R_3. Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Agora há um pivô também em \text{col}_4, totalizando 4 pivôs.

Passo 5

Como há 4 pivôs em uma matriz 4\times4,
\text{posto}\text{(C)}=4.
Pela relação de posto-nulidade com n=4,
\text{nulidade}\text{(C)}=4 - 4 = 0.

Resposta

posto \text{(C)}=4
nulidade \text{(C)}=0

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