Questão 26 Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo:
B=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 2 & 1 \\\\ 2 & -4 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 2 & 2 & 1\\\\ 2 & -4 & 6 \end{pmatrix}
e pede o posto (dimensão da imagem) e a nulidade (dimensão do núcleo). Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss para obter a forma escalonada e depois aplicar o Teorema do Posto-Nulidade:
\dim(\ker B) + \operatorname{rank}(B) = n,
onde n=3 é o número de colunas.

Passo 2

Aplicamos operações elementares para triangularizar B:
  • Subtraímos 2 vezes a linha 1 de cada uma das linhas 2 e 3.
Em detalhe:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: \quad(2,\,2,\,1)-2(1,\,-2,\,3)=(0,\,6,\,-5),
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1: \quad(2,\,-4,\,6)-2(1,\,-2,\,3)=(0,\,0,\,0).
Logo a forma escalonada de B é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 6 & -5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na forma escalonada contamos o número de linhas não nulas, que corresponde ao número de pivôs. Aqui há pivôs em duas linhas, então
\operatorname{rank}(B)=2.
Pela relação de dimensão, como n=3, temos
\nullity(B)=3 - \operatorname{rank}(B)=3-2=1.

Resposta

poste (B)=2
nulidade (B)=1

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