Questão 27 (OBM-2006) Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem, tais que, para todo inteiro positivo
tem-se que
. Prove que se
é inversível então
é a matriz nula.
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes quadradas
e
de mesma ordem tais que, para todo inteiro positivo
,
e sabe-se que
é inversível. Queremos provar que
é a matriz nula. Iremos usar polinômios matriciais, o binômio de Newton e o fato de que em corpos de característica zero (por exemplo
ou
) podemos cancelar escalares não-nulos.
Passo 2
Como
é inversível, definimos
Então
Por outro lado,
Pela hipótese
, podemos cancelar
, obtendo para todo
:
Passo 3
Escolhendo
, o binômio de Newton diz
Como pela hipótese
, segue
Num corpo de característica zero,
, daí
.
Passo 4
Voltando à definição
, como
segue