Questão 26: Determine todos os valores de lambda para os quais det(A-lambda In)=0, onde
A=[lll2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2]

Passo 1

O enunciado pede os valores de lambda tais que
detl(A - lambda Inr) = 0,
onde
A = 2 & 3 & 0 [6pt] 0 & 1 & 0 [6pt] 0 & 0 & 2
O conteúdo envolvido é o cálculo do polinômio característico de uma matriz triangular e a resolução da equação característica para encontrar os autovalores.]

Passo 2

Vamos escrever a matriz A - lambda I3. Como I3 é a identidade 3times3, temos
A - lambda I3 = 2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 - lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda = 2-lambda & 3 & 0 0 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 2-lambda

Passo 3

Como A-lambda I3 é triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo,
det(A - lambda I3) = (2-lambda),(1-lambda),(2-lambda) = (2-lambda)^2,(1-lambda)

Passo 4

Para encontrar os valores de lambda que anulam esse determinante, resolvemos
(2-lambda)^2,(1-lambda) = 0
Daqui vêm as soluções
2-lambda = 0 Longrightarrow lambda = 2,
(com multiplicidade algébrica 2) e
1-lambda = 0 Longrightarrow lambda = 1

Resposta

Os valores de lambda tais que det(A-lambda I3)=0 são
lambda = 1 e lambda = 2
(em que lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2).

Exercícios relacionados