Questão 26 (Escola Naval-2024). Sejam as matrizes
e
, ambas de ordem 4 , com
e
. Calcule o determinante da matriz
, sabendo que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes de ordem . -
. -
. - As matrizes satisfazem a igualdade matricial
.
O que o problema pede: calcular.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): uma boa maneira é aplicar o determinante em ambos os lados da igualdade
e usar propriedades dos determinantes para isolar
.
Pequena revisão das propriedades que vamos usar (com explicação intuitiva):
- Produto:
. Intuição: o determinante mede o fator de escala de volume; fazer duas transformações em sequência multiplica os fatores. - Inversa:
. Justificação simples: . - Transposta:
. Intuição: transpor não altera o volume orientado. - Escalar: para
e escalar , . Intuição: multiplicar uma coluna por multiplica o volume por ; há colunas, então .
Aqui, pois as matrizes são .
Passo 3
Aplicar determinante aos dois lados:
Usando a propriedade do determinante do produto no lado esquerdo:
Passo 4
Avaliar cada fator do lado esquerdo:
-
. -
.
Logo o lado esquerdo vale
Passo 5
Avaliar o lado direito
. Usando
com
e
, e
, obtemos:
Passo 6
Agora igualando os dois lados:
Isolando
:
Passo 7
Resumo final e checagem rápida: todas as propriedades usadas são válidas para matrizes quadradas 4×4; os sinais e potências de
foram tratados corretamente, portanto
é consistente.