Questão 26 (Escola Naval-2024). Sejam as matrizes A e B, ambas de ordem 4 , com \operatorname{det}(A)=-1 e \operatorname{det}(B)=2. Calcule o determinante da matriz X, sabendo que A^{-1} B^{t} X=2 A^{t}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes de ordem 4.
  • \det(A)=-1.
  • \det(B)=2.
  • As matrizes satisfazem a igualdade matricial A^{-1} B^{t} X = 2 A^{t}.
    O que o problema pede: calcular \det(X).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): uma boa maneira é aplicar o determinante em ambos os lados da igualdade A^{-1} B^{t} X = 2 A^{t} e usar propriedades dos determinantes para isolar \det(X).
Pequena revisão das propriedades que vamos usar (com explicação intuitiva):
  • Produto: \det(MN)=\det(M)\det(N). Intuição: o determinante mede o fator de escala de volume; fazer duas transformações em sequência multiplica os fatores.
  • Inversa: \det(M^{-1})=1/\det(M). Justificação simples: \det(M)\det(M^{-1})=\det(MM^{-1})=\det(I)=1.
  • Transposta: \det(M^{t})=\det(M). Intuição: transpor não altera o volume orientado.
  • Escalar: para n\times n e escalar c, \det(cM)=c^{n}\det(M). Intuição: multiplicar uma coluna por c multiplica o volume por c; há n colunas, então c^{n}.
    Aqui n=4, pois as matrizes são 4\times4.

Passo 3

Aplicar determinante aos dois lados:
\det\!\left(A^{-1} B^{t} X\right)=\det\!\left(2 A^{t}\right).
Usando a propriedade do determinante do produto no lado esquerdo:
\det(A^{-1})\det(B^{t})\det(X)=\det(2 A^{t}).

Passo 4

Avaliar cada fator do lado esquerdo:
  • \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}=\dfrac{1}{-1}=-1.
  • \det(B^{t})=\det(B)=2.
    Logo o lado esquerdo vale
\det(A^{-1})\det(B^{t})\det(X)=(-1)\cdot 2\cdot \det(X)=-2\det(X).

Passo 5

Avaliar o lado direito \det(2 A^{t}). Usando \det(cM)=c^{n}\det(M) com c=2 e n=4, e \det(A^{t})=\det(A), obtemos:
\det(2 A^{t})=2^{4}\det(A^{t})=16\det(A)=16\cdot(-1)=-16.

Passo 6

Agora igualando os dois lados:
-2\det(X) = -16.
Isolando \det(X):
\det(X)=\frac{-16}{-2}=8.

Passo 7

Resumo final e checagem rápida: todas as propriedades usadas são válidas para matrizes quadradas 4×4; os sinais e potências de 2 foram tratados corretamente, portanto \det(X)=8 é consistente.

Resposta

8

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