Questão 25 (FIJAS - UNI). Encontre o valor do determinante das seguintes matrizes:
M=\left|\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\\\ 0 & a & b & 0 \\\\ 0 & b & a & 0 \\\ b & 0 & 0 & a\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz M dada por
M=\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b \\\\ 0 & a & b & 0 \\\\ 0 & b & a & 0 \\\ b & 0 & 0 & a \end{vmatrix}.
Informações relevantes que temos:
  • É uma matriz 4\times4 com entradas a e b dispostas de forma simétrica.
  • O objetivo é calcular \det(M).

Passo 2

Vamos organizar a matriz em blocos 2\times2. Separemos as duas primeiras linhas/colunas das duas últimas. Escrevendo M como matriz em blocos, obtemos
M=\begin{pmatrix} X & Y\\[4pt] Y & X \end{pmatrix},
onde X e Y são as matrizes 2\times2
X=\begin{pmatrix}a & 0\\[2pt]0 & a\end{pmatrix}=aI_2,\qquad Y=\begin{pmatrix}0 & b\\[2pt]b & 0\end{pmatrix}=bS,
com I_2 a identidade 2\times2 e S=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}.
Explicação curta do porquê desse arranjo: agrupar blocos facilita porque X e Y são simples (um é escalar vezes I_2, o outro é escalar vezes S) e X e Y comutam ( X Y = Y X), o que permite aplicar uma fatoração do determinante para matrizes do tipo \begin{pmatrix}X&Y\Y&X\end{pmatrix}.]

Passo 3

Vou usar a identidade de blocos (válida quando X e Y comutam):
\det\!\begin{pmatrix}X&Y\\[2pt]Y&X\end{pmatrix}=\det(X+Y)\,\det(X-Y).
Para justificar de forma prática: considere a matriz de mudança de base em blocos
P=\begin{pmatrix}I_2 & I_2\\[2pt]I_2 & -I_2\end{pmatrix}.
Temos P^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}I_2 & I_2\\[2pt]I_2 & -I_2\end{pmatrix}. Fazendo a similaridade
P^{-1}\begin{pmatrix}X&Y\\[2pt]Y&X\end{pmatrix}P= \begin{pmatrix}X+Y & 0\\[2pt]0 & X-Y\end{pmatrix},
logo o determinante da matriz original é \det(X+Y)\det(X-Y) porque \det(P^{-1})\det(P)=1. (Esse cálculo é apenas manipular blocos e pode ser verificado multiplicando blocos.)]

Passo 4

Agora calculemos X\pm Y. Lembrando X=aI_2 e Y=bS,
X+Y=aI_2+bS=\begin{pmatrix}a & b\\[2pt]b & a\end{pmatrix},\qquad X-Y=aI_2-bS=\begin{pmatrix}a & -b\\[2pt]-b & a\end{pmatrix}.
Determinante de uma 2\times2 matriz \begin{pmatrix}p&q\\[2pt]r&s\end{pmatrix} é ps-qr. Aplicando:
\det(X+Y)=a\cdot a - b\cdot b = a^2-b^2,
\det(X-Y)=a\cdot a - (-b)\cdot(-b) = a^2-b^2.]

Passo 5

Multiplicando os dois resultados obtemos o determinante da matriz original:
\det(M)=\det(X+Y)\det(X-Y)=(a^2-b^2)(a^2-b^2)=(a^2-b^2)^2.
Um pequeno cheque numérico rápido: se a=2 e b=1, então \det(M)=(4-1)^2=9. Isso confere se alguém calcular diretamente os cofatores.

Resposta

(a^2-b^2)^2

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