Questão 25 (FIJAS - UNI). Encontre o valor do determinante das seguintes matrizes: M=\left|\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\\\ 0 & a & b & 0 \\\\ 0 & b & a & 0 \\\ b & 0 & 0 & a\end{array}\right|.
Passo 1
O enunciado pede o valor do determinante da matriz M dada por
M=\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b \\\\ 0 & a & b & 0 \\\\ 0 & b & a & 0 \\\ b & 0 & 0 & a \end{vmatrix}.
Informações relevantes que temos:
É uma matriz 4\times4 com entradas a e b dispostas de forma simétrica.
O objetivo é calcular \det(M).
Passo 2
Vamos organizar a matriz em blocos 2\times2. Separemos as duas primeiras linhas/colunas das duas últimas. Escrevendo M como matriz em blocos, obtemos
M=\begin{pmatrix} X & Y\\[4pt] Y & X \end{pmatrix},
com I_2 a identidade 2\times2 e S=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}.
Explicação curta do porquê desse arranjo: agrupar blocos facilita porque X e Y são simples (um é escalar vezes I_2, o outro é escalar vezes S) e X e Y comutam (X Y = Y X), o que permite aplicar uma fatoração do determinante para matrizes do tipo \begin{pmatrix}X&Y\Y&X\end{pmatrix}.]
Passo 3
Vou usar a identidade de blocos (válida quando X e Y comutam):
logo o determinante da matriz original é \det(X+Y)\det(X-Y) porque \det(P^{-1})\det(P)=1. (Esse cálculo é apenas manipular blocos e pode ser verificado multiplicando blocos.)]