Questão 27. Sem expandir os determinantes abaixo prove as seguintes igualdades: \left|\begin{array}{lll}1 & b c & a(b+c) \\\\ 1 & c a & b(a+c) \\\\ 1 & a b & c(a+b)\end{array}\right|=0
Passo 1
O enunciado dá o determinante da matriz 3\times3
\begin{vmatrix} 1 & bc & a(b+c)\\[4pt] 1 & ca & b(a+c)\\[4pt] 1 & ab & c(a+b) \end{vmatrix}
e pede para provar que esse determinante é igual a 0.
Informações relevantes que temos (retiradas diretamente do enunciado):
As entradas da primeira coluna são todas 1.
As entradas da segunda coluna são bc, ca, ab.
As entradas da terceira coluna são a(b+c), b(a+c), c(a+b).]
Passo 2
Vou introduzir duas somas simétricas úteis (isso facilita manipular termos do tipo ab,\,a(b+c), etc.):
s_1 = a+b+c,\qquad s_2 = ab+bc+ca.
Explicando: s_1 é a soma dos três números a,b,c e s_2 é a soma dos produtos tomados dois a dois. Essas quantidades aparecem naturalmente quando somamos ou reescrevemos expressões como a(b+c) ou bc.
Passo 3
Denoto as colunas da matriz por \;C_1,C_2,C_3\; (cada uma é um vetor coluna). Assim:
A estratégia será mostrar que existe uma combinação linear não trivial dessas colunas que dá o vetor nulo; isso garante que as colunas são linearmente dependentes e, portanto, o determinante é zero. Vou obter essa combinação linear manipulando algebraicamente C_2 e C_3 usando s_1 e s_2.]
Passo 4
Reescrevo cada entrada de C_2 em função de s_1 e s_2. Para a primeira linha, por exemplo:
s_2 = ab+bc+ca \quad\Rightarrow\quad bc = s_2 - a(b+c).
Como b+c = s_1 - a, podemos também escrever
bc = s_2 - a(s_1 - a) = s_2 - a s_1 + a^2.
Analogamente, para as outras linhas:
ca = s_2 - b s_1 + b^2,\qquad ab = s_2 - c s_1 + c^2.
Aqui expliquei cada termo: s_2 C_1 dá o mesmo valor s_2 nas três entradas; -s_1(a,b,c)^T corresponde ao termo -a s_1, -b s_1, -c s_1; e (a^2,b^2,c^2)^T corrige para obter exatamente bc,ca,ab.]
Passo 5
Agora reescrevo C_3 de forma semelhante. Para a primeira linha:
a(b+c)=a(s_1-a)=a s_1 - a^2.
Analogamente para as outras linhas, logo em forma vetorial:
é uma combinação linear não trivial (os coeficientes 1,1,-s_2 não são todos zero) que produz o vetor nulo. Uma propriedade básica de determinantes diz que se as colunas de uma matriz são linearmente dependentes então o determinante dessa matriz é zero. Portanto o determinante do enunciado vale 0.]