Questão 27. Sem expandir os determinantes abaixo prove as seguintes igualdades:
\left|\begin{array}{lll}1 & b c & a(b+c) \\\\ 1 & c a & b(a+c) \\\\ 1 & a b & c(a+b)\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado dá o determinante da matriz 3\times3
\begin{vmatrix} 1 & bc & a(b+c)\\[4pt] 1 & ca & b(a+c)\\[4pt] 1 & ab & c(a+b) \end{vmatrix}
e pede para provar que esse determinante é igual a 0.
Informações relevantes que temos (retiradas diretamente do enunciado):
  • As entradas da primeira coluna são todas 1.
  • As entradas da segunda coluna são bc, ca, ab.
  • As entradas da terceira coluna são a(b+c), b(a+c), c(a+b).]

Passo 2

Vou introduzir duas somas simétricas úteis (isso facilita manipular termos do tipo ab,\,a(b+c), etc.):
s_1 = a+b+c,\qquad s_2 = ab+bc+ca.
Explicando: s_1 é a soma dos três números a,b,c e s_2 é a soma dos produtos tomados dois a dois. Essas quantidades aparecem naturalmente quando somamos ou reescrevemos expressões como a(b+c) ou bc.

Passo 3

Denoto as colunas da matriz por \;C_1,C_2,C_3\; (cada uma é um vetor coluna). Assim:
C_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C_2=\begin{pmatrix}bc\\[4pt]ca\\[4pt]ab\end{pmatrix},\qquad C_3=\begin{pmatrix}a(b+c)\\[4pt]b(a+c)\\[4pt]c(a+b)\end{pmatrix}.
A estratégia será mostrar que existe uma combinação linear não trivial dessas colunas que dá o vetor nulo; isso garante que as colunas são linearmente dependentes e, portanto, o determinante é zero. Vou obter essa combinação linear manipulando algebraicamente C_2 e C_3 usando s_1 e s_2.]

Passo 4

Reescrevo cada entrada de C_2 em função de s_1 e s_2. Para a primeira linha, por exemplo:
s_2 = ab+bc+ca \quad\Rightarrow\quad bc = s_2 - a(b+c).
Como b+c = s_1 - a, podemos também escrever
bc = s_2 - a(s_1 - a) = s_2 - a s_1 + a^2.
Analogamente, para as outras linhas:
ca = s_2 - b s_1 + b^2,\qquad ab = s_2 - c s_1 + c^2.
Portanto, em forma vetorial:
C_2 = s_2\,C_1 \;-\; s_1\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix}a^2\\[4pt]b^2\\[4pt]c^2\end{pmatrix}.
Aqui expliquei cada termo: s_2 C_1 dá o mesmo valor s_2 nas três entradas; -s_1(a,b,c)^T corresponde ao termo -a s_1, -b s_1, -c s_1; e (a^2,b^2,c^2)^T corrige para obter exatamente bc,ca,ab.]

Passo 5

Agora reescrevo C_3 de forma semelhante. Para a primeira linha:
a(b+c)=a(s_1-a)=a s_1 - a^2.
Analogamente para as outras linhas, logo em forma vetorial:
C_3 = s_1\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\end{pmatrix}\;-\;\begin{pmatrix}a^2\\[4pt]b^2\\[4pt]c^2\end{pmatrix}.
Novamente, s_1(a,b,c)^T é o vetor com entradas a s_1, b s_1, c s_1 e subtrai-se (a^2,b^2,c^2)^T para obter a(b+c),\ldots.]

Passo 6

Somando as expressões vetoriais obtidas para C_2 e C_3 temos cancelamentos diretos:
C_2 + C_3 = \bigl(s_2\,C_1 - s_1(a,b,c)^T + (a^2,b^2,c^2)^T\bigr) + \bigl(s_1(a,b,c)^T - (a^2,b^2,c^2)^T\bigr).
Os termos - s_1(a,b,c)^T e + s_1(a,b,c)^T se anulam, assim como (a^2,b^2,c^2)^T e - (a^2,b^2,c^2)^T. Resta:
C_2 + C_3 = s_2\,C_1.

Passo 7

A identidade C_2 + C_3 = s_2\,C_1 mostra que as três colunas são linearmente dependentes, pois
C_2 + C_3 - s_2\,C_1 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}
é uma combinação linear não trivial (os coeficientes 1,1,-s_2 não são todos zero) que produz o vetor nulo. Uma propriedade básica de determinantes diz que se as colunas de uma matriz são linearmente dependentes então o determinante dessa matriz é zero. Portanto o determinante do enunciado vale 0.]

Resposta

0

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