Questão 27. Sem expandir os determinantes abaixo prove as seguintes igualdades: \left|\begin{array}{ccc}b^{2} c^{2} & b c & (b+c) \\\ c^{2} a^{2} & c a & (a+c) \\\ a^{2} b^{2} & a b & (a+b)\end{array}\right|=0
Passo 1
O enunciado dá o determinante
\left|\begin{array}{ccc} b^{2} c^{2} & b c & (b+c) \\\ c^{2} a^{2} & c a & (a+c) \\\ a^{2} b^{2} & a b & (a+b) \end{array}\right|
e pede para provar que ele vale zero, sem expandir determinantes. Vou listar as informações dadas de forma clara:
A matriz tem três colunas: a primeira coluna tem entradas \;b^{2}c^{2},\;c^{2}a^{2},\;a^{2}b^{2}\;.
A segunda coluna tem entradas \;bc,\;ca,\;ab\;.
A terceira coluna tem entradas \;b+c,\;c+a,\;a+b\;.
Objetivo: mostrar que o valor do determinante acima é 0.
Passo 2
Conceito útil (explicado com calma): se as três colunas de uma matriz são linearmente dependentes, isto é, existe uma combinação linear não trivial das colunas que dá o vetor nulo, então o determinante da matriz é zero. Em termos práticos, se existem escalares p,q,r, não todos zero, tais que
p\,C_{1}+q\,C_{2}+r\,C_{3}=0,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são as colunas da matriz, então o determinante é zero. A demonstração é simples: determinante é multilinear nas colunas e muda por um fator quando substitui-se uma coluna por uma combinação linear; se uma coluna pode ser escrita como combinação das outras, então as colunas não são independentes e a área/volume (determinante) é zero. Vou usar exatamente essa ideia: encontrar p,q,r tais que a combinação coluna-a-coluna seja o vetor nulo.
Passo 3
Escolha dos coeficientes (motivação curta): como as entradas são expressões simétricas em a,b,c, faz sentido tentar coeficientes simétricos formados pelas somas e produtos ab+bc+ca e abc. Defino
Agora vou verificar que com esses p,q,r a combinação linear das colunas é o vetor nulo, verificando linha a linha (cada linha corresponde a um dos pares (b,c), (c,a), (a,b)).
Passo 4
Verificação na primeira linha (detalhada, passo a passo). A combinação na primeira linha é
p\cdot b^{2}c^{2} + q\cdot bc + r\cdot (b+c).
Substituindo p,q,r obtemos
b^{2}c^{2} - (ab+bc+ca)\,bc + abc\,(b+c).
Agora desenvolvo termo a termo e agrupo para ver as cancelas:
\begin{aligned} b^{2}c^{2} &- (ab+bc+ca)\,bc + abc\,(b+c) \\\ &= b^{2}c^{2} - ab\cdot bc - bc\cdot bc - ca\cdot bc + abc\cdot b + abc\cdot c \\\ &= b^{2}c^{2} - a b^{2} c - b^{2} c^{2} - a b c^{2} + a b^{2} c + a b c^{2}. \end{aligned}
Agora cancelo termos iguais com sinais contrários:
b^{2}c^{2} cancela com -b^{2}c^{2};
-a b^{2} c cancela com +a b^{2} c;
-a b c^{2} cancela com +a b c^{2}.
O resultado final é zero. Assim a combinação vale zero na primeira linha:
Verificação nas demais linhas (comentário e conclusão). As contas da Passo 4 depend apenas da forma simbólica da linha: para a segunda linha trocar b\to c,\;c\to a dá exatamente a mesma identidade na forma cíclica, e o mesmo para a terceira linha (c\to a,\;a\to b). Portanto a combinação
1\cdot C_{1} - (ab+bc+ca)\,C_{2} + abc\,C_{3}
é o vetor nulo, ou seja,
C_{1} - (ab+bc+ca)\,C_{2} + abc\,C_{3} = 0.
Passo 6
Conclusão final usando a teoria do Passo 2: como existe uma combinação linear não trivial das colunas que dá zero (os coeficientes não são todos zero: p=1 por exemplo), as colunas são linearmente dependentes. Logo o determinante da matriz é zero. Isso prova a igualdade pedida sem expandir determinantes.