Questão 26. Seja
. Mostre que se
, para todo
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
(ou seja,
é um polinômio com coeficientes complexos) e que
para todo
. O que precisamos mostrar é que
é o polinômio nulo (ou seja,
é identicamente zero). Informações relevantes que temos:
é um polinômio (logo tem grau finito ou é o polinômio nulo) e a função
é zero em uma quantidade infinita de pontos (todos os inteiros).
Passo 2
Vamos usar um fato fundamental sobre polinômios: um polinômio não-nulo de grau finito
tem no máximo
raízes distintas. Antes de usar isso, eu explico direitinho o que significa cada coisa.
Definições e explicações:
- O grau de um polinômio
, denotado , é o maior expoente tal que o coeficiente de em é diferente de zero. Por exemplo, . - O polinômio nulo é o polinômio cujos coeficientes são todos zero; por convenção ele não tem grau bem definido (ou às vezes dizemos que tem grau
). - Chamamos de raiz (ou zero) de
qualquer tal que .
O lema que vamos provar agora é: seé um polinômio não-nulo com , então tem no máximo raízes distintas.
Passo 3
Prova do lema por indução no grau.
Base da indução (
):
Se , então
é um polinômio constante
com
. Esse polinômio não tem nenhuma raiz, porque
nunca é zero. Logo tem no máximo
raízes, que coincide com o grau. Um exemplo concreto:
tem zero raízes.
Se
Passo 4
Passo indutivo:
Suponha que todo polinômio não-nulo de grau menor que tem no máximo esse número de raízes. Pegue
com
e suponha que
tem pelo menos uma raiz; se não tiver nenhuma, já temos que o número de raízes é
e está tudo certo.
Suponha que todo polinômio não-nulo de grau menor que
Se existe
tal que
, então pelo teorema do resto (ou teorema do fator) existe um polinômio
tal que
Explicação curta do porquê: ao dividir
por
obtemos um quociente
e um resto constante
. Avaliando em
dá
. Se
então
, logo o resto é zero e a divisão é exata. Assim
.
Passo 5
Agora, qualquer raiz distinta de
de
deve ser raiz de
: se
e
então
e, como
, segue
. Portanto as raízes distintas de
são
juntas com as raízes de
. Pelo passo indutivo
tem no máximo
raízes distintas. Logo
tem no máximo
raízes distintas. Isso fecha a indução e prova o lema.
Passo 6
Aplicação ao problema: se
não for o polinômio nulo, então
é algum inteiro não negativo, e pelo lema
teria no máximo
raízes. Mas o enunciado afirma que
para todo
, ou seja,
teria infinitas raízes (os inteiros formam um conjunto infinito). Isso é impossível para um polinômio não-nulo de grau finito. Portanto a única possibilidade é que
seja o polinômio nulo.
Passo 7
Conclusão final e observação pedagógica: assim mostramos que a hipótese de zerar em todos os inteiros força
a ser identicamente zero. Intuitivamente, um polinômio que não é todo zero só pode “cortar” o eixo em um número finito de pontos — no máximo seu grau — então não consegue ser zero em infinitos pontos. Se quiser, um jeito alternativo de ver isso é usar que valores de um polinômio de grau
são determinados por suas imagens em
pontos distintos (interpolação de Lagrange): se todos esses
valores são zero então todos os coeficientes são zero, mas aqui temos muito mais que
pontos — temos infinitos — então novamente só resta o polinômio nulo. Força nos estudos — você já chegou longe!