Questão 26. Seja f \in \mathbb{C}[x]. Mostre que se f(n)=0, para todo n \in \mathbb{Z}, então f=0.

Passo 1

O enunciado diz que f\in\mathbb{C}[x] (ou seja, f é um polinômio com coeficientes complexos) e que f(n)=0 para todo n\in\mathbb{Z}. O que precisamos mostrar é que f é o polinômio nulo (ou seja, f é identicamente zero). Informações relevantes que temos: f é um polinômio (logo tem grau finito ou é o polinômio nulo) e a função n\mapsto f(n) é zero em uma quantidade infinita de pontos (todos os inteiros).

Passo 2

Vamos usar um fato fundamental sobre polinômios: um polinômio não-nulo de grau finito d tem no máximo d raízes distintas. Antes de usar isso, eu explico direitinho o que significa cada coisa.
Definições e explicações:
  • O grau de um polinômio f, denotado \deg(f), é o maior expoente k tal que o coeficiente de x^k em f é diferente de zero. Por exemplo, \deg(3x^2+2x+1)=2.
  • O polinômio nulo é o polinômio cujos coeficientes são todos zero; por convenção ele não tem grau bem definido (ou às vezes dizemos que tem grau -\infty).
  • Chamamos de raiz (ou zero) de f qualquer a\in\mathbb{C} tal que f(a)=0.
    O lema que vamos provar agora é: se f é um polinômio não-nulo com \deg(f)=d, então f tem no máximo d raízes distintas.

Passo 3

Prova do lema por indução no grau.
Base da indução ( \deg=0):
Se \deg(f)=0, então f é um polinômio constante f(x)=c com c\neq0. Esse polinômio não tem nenhuma raiz, porque f(x)=c nunca é zero. Logo tem no máximo 0 raízes, que coincide com o grau. Um exemplo concreto: f(x)=2 tem zero raízes.

Passo 4

Passo indutivo:
Suponha que todo polinômio não-nulo de grau menor que k tem no máximo esse número de raízes. Pegue f com \deg(f)=k e suponha que f tem pelo menos uma raiz; se não tiver nenhuma, já temos que o número de raízes é 0\le k e está tudo certo.
Se existe a\in\mathbb{C} tal que f(a)=0, então pelo teorema do resto (ou teorema do fator) existe um polinômio g\in\mathbb{C}[x] tal que
f(x)=(x-a)\,g(x).
Explicação curta do porquê: ao dividir f(x) por (x-a) obtemos um quociente g(x) e um resto constante r. Avaliando em x=a f(a)=r. Se f(a)=0 então r=0, logo o resto é zero e a divisão é exata. Assim \deg(g)=k-1.

Passo 5

Agora, qualquer raiz distinta de a de f deve ser raiz de g: se b\neq a e f(b)=0 então (b-a)g(b)=0 e, como b-a\neq0, segue g(b)=0. Portanto as raízes distintas de f são a juntas com as raízes de g. Pelo passo indutivo g tem no máximo k-1 raízes distintas. Logo f tem no máximo 1+(k-1)=k raízes distintas. Isso fecha a indução e prova o lema.

Passo 6

Aplicação ao problema: se f não for o polinômio nulo, então \deg(f)=d é algum inteiro não negativo, e pelo lema f teria no máximo d raízes. Mas o enunciado afirma que f(n)=0 para todo n\in\mathbb{Z}, ou seja, f teria infinitas raízes (os inteiros formam um conjunto infinito). Isso é impossível para um polinômio não-nulo de grau finito. Portanto a única possibilidade é que f seja o polinômio nulo.

Passo 7

Conclusão final e observação pedagógica: assim mostramos que a hipótese de zerar em todos os inteiros força f a ser identicamente zero. Intuitivamente, um polinômio que não é todo zero só pode “cortar” o eixo em um número finito de pontos — no máximo seu grau — então não consegue ser zero em infinitos pontos. Se quiser, um jeito alternativo de ver isso é usar que valores de um polinômio de grau d são determinados por suas imagens em d+1 pontos distintos (interpolação de Lagrange): se todos esses d+1 valores são zero então todos os coeficientes são zero, mas aqui temos muito mais que d+1 pontos — temos infinitos — então novamente só resta o polinômio nulo. Força nos estudos — você já chegou longe!

Resposta

f=0

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